继续问导数f(x)=ax+xlnx 整数k1恒成立 求k的最大值.a>0 讨论y=x^2-alnx在(1,e^a)上的零点个数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/11 16:58:24
继续问导数f(x)=ax+xlnx 整数k1恒成立 求k的最大值.a>0 讨论y=x^2-alnx在(1,e^a)上的零点个数
继续问导数
f(x)=ax+xlnx 整数k1恒成立 求k的最大值.
a>0 讨论y=x^2-alnx在(1,e^a)上的零点个数
继续问导数f(x)=ax+xlnx 整数k1恒成立 求k的最大值.a>0 讨论y=x^2-alnx在(1,e^a)上的零点个数
1 .（你这里貌似缺条件）对设g（x）=f（x）/(x-1)
求导得g’（x）=（x-lnx-a-1）/（x-1）^2
设h（x）=x-lnx-a-1
做到这里如果知道a的值的话可以通过取值来确定g（x）最小值点的范围从而得到k的最大值
2.由f（1）=1 f（e^a）=e^2a-a^2 =(e^a-a)(e^a+a) e^a+a＞0恒成立不用考虑设h（a）=e^a-a
求导得h‘（a）=e^a-1（a＞0）令h’（x）＞0得a＞0 故h（a）在0到正无穷上单调递增
h（a）＞h（0）=0 即e^a＞a
故f（e^a）=e^2a-a^2 =(e^a-a）（e^a+a)＞0恒成立 （在a ＞0时）
在对=√(a/2)x^2-alnx求导得f‘（x）=（2x^2-a)/x
令f‘（x）=0 得x=√(a/2) f（√(a/2)）=a/2(1-ln(a/2)) 令 f（√(a/2)）=0得a=2e
然后对a讨论
① 0＜a≤1 0＜√(a/2)≤1故f（x）在（0,+∞）上单调递增 f（1）＞0,故无零点
②1＜a＜2e f（x）在（1,√(a/2)）上单调递减（√(a/2),e^a）上单调递增
故[f(x)]min=f(√(a/2))=a/2(1-ln(a/2)) ＞0 无零点
③2e＜a＜e^a f（x）在（1,√(a/2)）上单调递减（√(a/2),e^a）上单调递增
故[f(x)]min=f(√(a/2))=a/2(1-ln(a/2)) ＜0 两个零点
x→0，f''(x)/|x|→1，由极限的保号性，存在0的去心邻域，在此去心邻域内，f''(x)/|x|＞0，所以在0的两侧，f''(x)＞0。所以(0,f(0)