什么是catalan数?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/13 02:14:56
什么是catalan数?
什么是catalan数?
什么是catalan数?
在网上找了n久,各种关于catalan数列的资料都残缺不堪,弄了半天才理解什么是catalan数.所以干脆自己梳理一番.
原理：
令h(1)＝1,catalan数满足递归式：
h(n)= h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ...+ h(n-1)h(1) (其中n>=2)
该递推关系的解为：h(n)=c(2n-2,n-1)/n (n=1,2,3,...)
我并不关心其解是怎么求出来的,我只想知道怎么用catalan数分析问题.
我总结了一下,最典型的三类应用：（实质上却都一样,无非是递归等式的应用,就看你能不能分解问题写出递归式了）
1.括号化问题.
矩阵链乘：P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种)
2.出栈次序问题.
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
类似：有2n个人排成一行进入剧场.入场费5元.其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
3.将多边行划分为三角形问题.
将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作.每天她走2n个街区去上班.如果他
从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?
类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
不过下面这个问题似乎不好归类,它怎么来应用这个catalan递归方程呢?你说说：n个结点可构造多少个不同的二叉树?