已知a的平方+2bc=b的平方+2ca=c的平方+2ab求证a=b=c
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/04 02:22:57
已知a的平方+2bc=b的平方+2ca=c的平方+2ab求证a=b=c
已知a的平方+2bc=b的平方+2ca=c的平方+2ab求证a=b=c
已知a的平方+2bc=b的平方+2ca=c的平方+2ab求证a=b=c
a^2+2bc=b^2+2ac=c^2+2ab
a^2+2bc-b^2-2ac
=a^2-b^2+2bc-2ac
=(a+b)(a-b)+2c(b-a)
=(a-b)(a+b-2c)
同理 b^2+2ac-c^2-2ab=0 得(b-c)(b+c-2a)=0
a^2+2bc-c^2-2ab=0 得 (a-c)(a+c-2b)=0
(a-b)(a+b-2c)=0 则 a=b 或 a+b-2c=0
若是 a=b 则 (b-c)(b+c-2a)=0 变为 (b-c)(b+c-2b)=(b-c)(c-b)=0
则 b=c 此时 a=b=c 得证
若是 a+b-2c=0 则 b=2c-a 把它代入(b-c)(b+c-2a)=0
(b-c)(b+c-2a)=0 变为 (2c-a -c)(2c-a +c-2a)=(c-a)(3c-3a)=3(c-a)(c-a)=0 此时 a=c
又 a+b-2c=0 a=c 所以 a+b-2a=0 b-a=0 a=b 所以 a=b=c 得证
因为：a^2+2bc=b^2+2ac=c^2+2ab,
所以：a^2+2bc-(b^2+2ac)=0；a^2+2bc-(c^2+2ab)=0；b^2+2ac-(c^2+2ab)=0；
a^2-b^2+2bc-2ac =(a+b)(a-b)+2c(b-a)=(a+b)(a-b)-2c(a-b ) ...
全部展开
因为：a^2+2bc=b^2+2ac=c^2+2ab,
所以：a^2+2bc-(b^2+2ac)=0；a^2+2bc-(c^2+2ab)=0；b^2+2ac-(c^2+2ab)=0；
a^2-b^2+2bc-2ac =(a+b)(a-b)+2c(b-a)=(a+b)(a-b)-2c(a-b )
= (a-b)(a+b-2c)=0
a^2+2bc-(c^2+2ab)=(a-c)(a+c-2b)=0
b^2+2ac-(c^2+2ab)=(b-c)(b+c-2a)=0
若a不等于b不等于c，则必然满足 a+b-2c=a+c-2b=b+c-2a=0；分解得：2c=a+b,2b=a+c,2a=b+c
解得：a=(b+c)/2,b=(a+c)/2,c=(a+b)/2
所以：2c=a+b=(b+c)/2+b,所以4c=b+c+2b=3b+c所以c=b,同样解得 b=a,a=c
所以：a=b=c
收起
对的