三个面亮亮相交,有三个交线,求证这三条交线交于一点,或相互平行.

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/10 11:49:08
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三个面亮亮相交,有三个交线,求证这三条交线交于一点,或相互平行.
设三个面分别为A、B、C,交线分别为ab、bc、ca.所以ab包含于A,ca也包含于A.所以ab和ca共平面.
如果ab平行于ca,因为ca包含于平面C,所以ab平行于平面C.因为ab包含于平面B,平面B与平面C相交于bc,所以ab平行于bc.所以ab、bc、ca相互平行.
如果ab与ca相交,设交点为点a,所以a属于ab,a属于ca.因为ab包含于平面B,ca包含于平面C,所以a属于平面B,a属于平面C.所以a属于平面B与平面C的交线,即bc.所以a属于bc.所以ab、bc、ca相交于一点.
证明：设三个面分别为A、B、C,交线分别为直线ab、直线bc、直线ca.
则A∩B=ab,B∩C=bc,C∩A=ca.
∴ab=A∩B⊆A,ca=C∩A⊆A.所以直线ab,直线ca都在平面A上.
(1)如果ab||ca.
∵ca=C∩A⊆C,ab不在平面C上（如果ab在平面C上说明三个平面只有一条交线,与题目中的三条交线矛盾）.
∴ab||平面C.
又∵ab=A∩B⊆B,B∩C=bc.
∴ab平行于平面B与平面C的交线bc,即ab||bc.
∴ab||bc||ca.
(2)如果ab与ca相交,设交点为点a,即ab∩ca={a}.
∴a∈{a}=ab∩ca⊆ab=A∩B⊆B,
a∈{a}=ab∩ca⊆ca=C∩A⊆C.
∴a∈B∩C=bc.
∵a∈ab,a∈ca,a∈bc
∴ab,ca,bc相交于点a.（如果不是相交,只能重合,这与题目中的三条交线矛盾）

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