数学归纳法不能证明对于命题,1/2 + 1/4 + 1/8 +.1/n < 1 ,n趋近无穷大且为正整数,本人觉得像这样类似的命题（怎么类似,大家都是聪明人,应该能看得出来）,不能用数学归纳法证明.我不得不重新说

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/05/03 12:18:38

数学归纳法不能证明对于命题,1/2+1/4+1/8+.1/n数学归纳法不能证明对于命题,1/2+1/4+1/8+.1/n我不得不重新说明的是，我并不是想要怎么证明这个命题，而是要讨论特别是类似这样的问

数学归纳法不能证明对于命题,1/2 + 1/4 + 1/8 +.1/n < 1 ,n趋近无穷大且为正整数,本人觉得像这样类似的命题（怎么类似,大家都是聪明人,应该能看得出来）,不能用数学归纳法证明.我不得不重新说
数学归纳法不能证明
对于命题,1/2 + 1/4 + 1/8 +.1/n < 1 ,n趋近无穷大且为正整数,本人觉得像这样类似的命题（怎么类似,大家都是聪明人,应该能看得出来）,不能用数学归纳法证明.
我不得不重新说明的是，我并不是想要怎么证明这个命题，而是要讨论
特别是类似这样的问题！五楼的回答虽然是用了数学归纳法，其实这不能这么说，因为他没有用到n=k 的归纳假设，并不是用了归纳法

数学归纳法不能证明对于命题,1/2 + 1/4 + 1/8 +.1/n < 1 ,n趋近无穷大且为正整数,本人觉得像这样类似的命题（怎么类似,大家都是聪明人,应该能看得出来）,不能用数学归纳法证明.我不得不重新说
数学归纳法应该是1.当n=1的时候成立.2.当n=k成立时,n=k+1时也成立
首先,n=1时,显然是成立的
若n=k的时候成立,即 (1/2*(1-(1/2)^k))/(1-1/2)=1-(1/2)^k

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首先，对不起，一开始没用数学归纳法是因为不能理解你的叙述，因为我认为你要求不用数学归纳法来证明。
其次，我认为你的题目大概是要证明
1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n <1
而不是1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n <1
那么我们现在用数学归纳法来证明：1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n <1
你只要把这个命题变一下就可以证明了，你证明出1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n =1-1/2^n就可以了，相信这个证明对你而言是很简单的。而1-1/2^n<1。也就是1-1/2^n=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n <1。
凡是有确定极限或边界的不等式证明，你只要通过证明这个极限和边界的存在就可以证明不等式的成立。而我认为你说的单纯通过数学归纳法来证明原不等式命题确实不行。
如果你学过等比数列，那么就好办了
1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n
=1/2(1-(1/2)^n)/(1-1/2)
=1-1/2^n<1
如果你没学过，你可以想象一样东西，你拿掉一半，再拿掉剩下的一半，再拿剩下的一半......无论你重复多少次，也不可能拿掉比最开始全部的还要多

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1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n+1/n-1/n
=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/(n-1)+1/(n-1)-1/n
=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/(n-2)+1/(n-2)-1/n

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1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n+1/n-1/n
=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/(n-1)+1/(n-1)-1/n
=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/(n-2)+1/(n-2)-1/n
: : : :
=1/2 + 1/4 + 1/8 +1/8-1/n
=1/2 + 1/4 +1/4-1/n
=1-1/n<1

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不知道你是不是大学生用级数很好证明的~ R<1时级数收敛~
你到大学时候就明白了~高等数学的知识

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将该题改一下形式,可用数学归纳法证明,证明了原题的结论.
试证:1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n=1-1/2^n<1.
证明当n=1时,1/2=1-1/2<1,命题成立.当n=k时命题成立,考虑n=k+1时的情况,由归纳法假设得
1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n+1/2^(n+1)
=1-1/2^n+1/2^(n+1)=1-1/2^(n+1)<1
于是n=k+1时命题成立.
"五楼的回答虽然是用了数学归纳法，其实这不能这么说，因为他没有用到n=k 的归纳假设，并不是用了归纳法"回答这个说法.
当n=k时命题成立,才有/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n=1-1/2^n
于是得
1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n+1/2^(n+1)
=1-1/2^n+1/2^(n+1)=1-1/2^(n+1)<1

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n趋近无穷大且为正整数时, 1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n正好等于1

有两种小学生应该也会懂的方法
方法一：设我有一根木棒，长度设为一个单位，锯一半给你，这时你有1/2，（我剩1/2根木棒）
我从剩下的1/2中再锯一半给你，这时你有1/2+1/4，（我剩1/4根木棒）
我从剩下的1/4中再锯一半给你，这时你有1/2+1/4+1/8，……，
第n次时，我手中总是剩下1/n根木棒，而你有1/2 + 1/4 + 1/8 +....1...

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把1写成一个等比数列的和式
1=1/2+1/4+1/8+..........
准确说上面是大于号的
那么结论显然啊
这个也是解决不等式的构造数列的常见方法

同意四楼的,这种用幂级数做相当快,而且你学下去就知道如何把看似很难的不等式证明变成简单的,在高中主要就是等差,等比数列的变形

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首先像这类题你是可以用数学归纳法证明的当然看你愿不愿意
数学归纳法运用的条件就是：是正整数 n趋于无穷大有这两个条件就可以适用数学归纳法证明了方法相信lz肯定知道这就不多说了
然后像这类题一般用极限方法做是会很快得出结果的到了高三就会学的极限
现在先教你这个公式：等比数列中求和公式S=a1(1-q^n)/1-q
当0＜q＜1时你可以发现：当n取无穷大时 q^n将趋于0
所以我们可以将公式化为：S=a1/1-q(0＜q＜1)
所以就很容易将上面的式子进行简单化简得出结果
希望这样说明对你会有帮助
新年快乐哈~

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数学归纳法处理的证明题所在的数学模型一般为单调函数,其单调性应当与要证明的不等式有对应的关系(比如说,f(x)为增函数,要证的是f(n)(n为整数)≥某数k),当所要证明的不等式与题中所给的函数模型无此对应关系时,用数学归纳法就没有意义了:
比如说楼主的命题,我们可以知道1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n +1/(n+1)＞1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n 但这对我们证明这道题有帮助么?没有。因为我们要得出的是一个小于关系，这种大于关系无法进行变形。所以说这道题只能通过其他手段来解决，比如楼上说的等比数列求和公式等等。
另外说一句,这道题不能说不能用数学归纳法证明,而是用不着,用了等于没用。
因为我也很喜欢数学归纳法，所以希望以后和楼主多多讨论

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1/2=1-1/2
1/2+1/4=1-1/4
1/2+1/4+...1/n=1-1/n<1
很明显啊。