解一次同余式组 x≡3(mod9) x≡4(mod11) x≡5(mod17)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/10 00:02:12
解一次同余式组 x≡3(mod9) x≡4(mod11) x≡5(mod17)
解一次同余式组 x≡3(mod9) x≡4(mod11) x≡5(mod17)
解一次同余式组 x≡3(mod9) x≡4(mod11) x≡5(mod17)
x≡3(mod9) x≡4(mod11) x≡5(mod17)
x=3+9a x=4+11b x=5+17c 除以9余3 除以11余4 除以17余5
9a=11b+1 a=5 b=4 x=45 符合前两个式子 因为9和11最小公倍数是99
下一个x要比上一个大99 x=45+99k
第三个式子也考虑进来.x=45+99k=5+17c 99k+40=17c
k=1,2,3.时 139,238,337.中,只有238=17*14是17的倍数 17和99的最小公倍数是1683
所以 x的下一个解=238+1683
答案 x=238+1683n n为整数
x≡3(mod9)
x≡4(mod11)
x≡5(mod17)
∵模9、11、17两两互素（质）
∴知同余式组有整数解
用孙子定理解
b1＝3 b2＝4 b3＝5
m1＝9 m2＝11 m3＝17
M＝m1×m2×m3＝9×11×17＝1683
M1＝M÷m1＝1683÷9＝187
M2＝...
全部展开
x≡3(mod9)
x≡4(mod11)
x≡5(mod17)
∵模9、11、17两两互素（质）
∴知同余式组有整数解
用孙子定理解
b1＝3 b2＝4 b3＝5
m1＝9 m2＝11 m3＝17
M＝m1×m2×m3＝9×11×17＝1683
M1＝M÷m1＝1683÷9＝187
M2＝M÷m2＝1683÷11＝153
M3＝M÷m3＝1683÷17＝99
①M1×M1'≡187×M1'≡1(mod9)
即（9×20＋7）M1'≡1(mod9)
7M1'≡1(mod9)
得M1'＝4
②M2×M2'≡153×M2'≡1(mod11)
即（11×13＋10）M2'≡1(mod11)
10M2'≡1(mod11)
得M2'＝10
③M3×M3'≡99×M3'≡1(mod17)
即14M3'≡1(mod17)
得M3'＝－6
∴x≡bi×Mi×Mi'＝b1×M1×M1'＋b2×M2×M2'＋b3×M3×M3'
≡3×187×4＋4×153×10＋5×99×(－6)
≡5394(mod1683)
≡345(mod1683)
即x＝345＋1683 t（t是整数 t＝0，±1，±2，±3……）
收起