已知等腰直角三角形ABC中,角C=90度,P是三角形ABC内一点且PA：PC：PB=1：2：3.求角APC 的度数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/03 17:18:18
已知等腰直角三角形ABC中,角C=90度,P是三角形ABC内一点且PA：PC：PB=1：2：3.求角APC 的度数
已知等腰直角三角形ABC中,角C=90度,P是三角形ABC内一点且PA：PC：PB=1：2：3.求角APC 的度数
已知等腰直角三角形ABC中,角C=90度,P是三角形ABC内一点且PA：PC：PB=1：2：3.求角APC 的度数
先将三角形APC顺时针旋转90度使AC与CB重合且记转过去的P点记为P1连P P1的到三角形p p1 c为等腰三角形因为CP cp1相等且角p c p1 为90度根剧够古定理p p1为2根号2因为够古定理角p p1 b为90度所以角APC等于角CP1B为135度
设pa=x,所以pc=2x,pb=3x,设ac=bc=y，然后有cos∠acp=（ac^2+pc^2-pa^2）/(2ac*pc)=(y^2+3x^2)/(4xy) 同理有cos∠bcp=(y^2+5x^2)/(4xy) 而∠acp与∠bcp互余 所以有[cos∠acp]^2+[cos∠bcp]^2=1 即[(y^2+3x^2)/(4xy)]^2+[(y^2+5x^2)/(4xy)]^2=1 整...
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设pa=x,所以pc=2x,pb=3x,设ac=bc=y，然后有cos∠acp=（ac^2+pc^2-pa^2）/(2ac*pc)=(y^2+3x^2)/(4xy) 同理有cos∠bcp=(y^2+5x^2)/(4xy) 而∠acp与∠bcp互余 所以有[cos∠acp]^2+[cos∠bcp]^2=1 即[(y^2+3x^2)/(4xy)]^2+[(y^2+5x^2)/(4xy)]^2=1 整理得y^4-10x^2y^2+17x^4=0 得y^2=(5±2√2)x^2 2√2意为2倍根号2 当y^2=(5-2√2)x^2时 cos∠apc=(5x^2-y^2)/4x^2=√2/2 ∠apc为45° 易知∠abc为45° 而p在三角形内部 所以必有∠apc>∠abc 排除此种情况 所以y^2=(5+2√2)x^2 cos∠apc=-2√2 所以∠apc=135°
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