如图,点C在以AB为直径的圆O上,CD⊥AB,垂足为P,设AP=a,PB=b（1）求弦CD的长（2）若a+b=10,求ab的最大值,并求出此时a,b的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/11 18:03:11
如图,点C在以AB为直径的圆O上,CD⊥AB,垂足为P,设AP=a,PB=b（1）求弦CD的长（2）若a+b=10,求ab的最大值,并求出此时a,b的值
如图,点C在以AB为直径的圆O上,CD⊥AB,垂足为P,设AP=a,PB=b
（1）求弦CD的长
（2）若a+b=10,求ab的最大值,并求出此时a,b的值
如图,点C在以AB为直径的圆O上,CD⊥AB,垂足为P,设AP=a,PB=b（1）求弦CD的长（2）若a+b=10,求ab的最大值,并求出此时a,b的值
(1),
设圆心O,AP=a,PB=b,AB=AP+PB=a+b,
连接OC,OD,
OC=OD=AB/2=(a+b)/2,
OP=AO-AP=(a+b)/2-a=(b-a)/2,
直角三角形OPC与直角三角形OPD中
OC=OP,OP=OP,CP=√(OC²-OP²)=DP,
CD=CP+DP
=2CP
=2√(OC²-OP²)
=2√{[(a+b)/2]²-[(b-a)/2]²}
=2√{[(a+b+b-a)(a+b-b+a)]/4}
=2√[(2b)(2a)/4]
=2√(ab)
(2),
若a+b=10,即AB=10=2AO=2BO=2R,R=10/2=5,
ab=AP*PB
=(AO-PO)(BO+PO)
=(R-PO)(R+PO)
=R²-PO²
=5²-PO²
=25-PO²
当PO=0时,ab有最大值25.
故a=AO-PO=R-0=5,
a+b=10,
b=10-a=10-5=5.
[或:
当CD过O与AB垂直时,CD有最大值=AB=a+b=10,
因为CD=2√(ab),
所以2√(ab)=10,
ab最大值:ab=25,
又a+b=10,
解方程组:
(10-b)b=25,
b²-10b+25=0,
b=5,
a+b=10,
a=10-b=10-5=5.]
（1)根据垂经定理CP=1/2*CD
∴RT⊿APC≈RT⊿CPB
∵AP:CP=CP:PB
∵AP*PB=CP*CP
∵CD=2√ab
（2）CD最大＝直径＝a+b＝10
∵√ab最大＝5
∵ab最大＝25
此时a＝b＝5