高二数学 已知f(x)=e^x,曲线f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=g(x)（2）当x≥0时,f(x)≥1+(ax/1+x)恒成立,求实数a的取值范围第一题是 （1）证明：对任意x∈R,f(x)≥g(x) 第一题会证 第二题不会
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/04 01:42:03
高二数学 已知f(x)=e^x,曲线f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=g(x)（2）当x≥0时,f(x)≥1+(ax/1+x)恒成立,求实数a的取值范围第一题是 （1）证明：对任意x∈R,f(x)≥g(x) 第一题会证 第二题不会
高二数学 已知f(x)=e^x,曲线f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=g(x)
（2）当x≥0时,f(x)≥1+(ax/1+x)恒成立,求实数a的取值范围
第一题是 （1）证明：对任意x∈R,f(x)≥g(x)
第一题会证 第二题不会
高二数学 已知f(x)=e^x,曲线f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=g(x)（2）当x≥0时,f(x)≥1+(ax/1+x)恒成立,求实数a的取值范围第一题是 （1）证明：对任意x∈R,f(x)≥g(x) 第一题会证 第二题不会
e^x≥1+(ax/1+x) 得出 （e^x-1）（1+x)≥ax
则F(x)=(e^x-1)(1+x)-ax≥0在x∈[o,正无穷）上恒成立
∴F'(x)=e^x(2+x)-1-a
∵x≥0,∴e^x(2+x)≥2
1°a≤1时,F‘(x)≥0
∴F(x)在[0,正无穷）上单调递增
∴F(x)≥F(0)=0
2°a＞1时,
F''(x)=e^x(2+x）+e^x=e^x(3+x)>0
F'(x)在[o,正无穷）上单调递增
当x=0时,F’(x)=1-a
f(x)≧0
即：x(e^x-1)-ax²≧0
因为x≧0，所以，两边约去一个x得：
e^x-1-ax≧0
ax≦e^x-1
x=0时，0≦0，得：a∈R；
x>0时，a≦(e^x-1)/x
令g(x)=(e^x-1)/x，x>0
g'(x)=(xe^x-e^x+1)/x²=[(x-1)e^x+1]/x²...
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f(x)≧0
即：x(e^x-1)-ax²≧0
因为x≧0，所以，两边约去一个x得：
e^x-1-ax≧0
ax≦e^x-1
x=0时，0≦0，得：a∈R；
x>0时，a≦(e^x-1)/x
令g(x)=(e^x-1)/x，x>0
g'(x)=(xe^x-e^x+1)/x²=[(x-1)e^x+1]/x²
令h(x)=(x-1)e^x+1，x>0
h'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x>0
所以，h(x)=(x-1)e^x+1在(0,+∞)上递增，
则：h(x)>h(0)=0
所以，g'(x)=h(x)/x²>0
所以，g(x)=(e^x-1)/x在(0,+∞)上递增，
则：g(x)>g(0)，
lim(x→0)(e^x-1)/x=1
所以，g(x)>g(0)=1
所以，a≦1
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