求一个四位数,使它等于它的四个数字和的四次方,并证明此数是唯一的.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/16 06:50:13
求一个四位数,使它等于它的四个数字和的四次方,并证明此数是唯一的.
求一个四位数,使它等于它的四个数字和的四次方,并证明此数是唯一的.
求一个四位数,使它等于它的四个数字和的四次方,并证明此数是唯一的.
经计算得,其中符合题意的只有2401一个.
四位数，1000-9999，因此四个数字的和只可能是6-10。
6的4次方为1296，四个数字和不为6.
7的4次方为2401，刚好满足。
8的4次方4096.
9的4次方6561.
因此2401满足题意且是唯一的。
∵ 四个数字和的四次方 = 这个四位数
∴ 1000 ≤ 四个数字和的四次方 ≤9999
满足在1000到9999范围内的只有：
6的四次方=1296；
7的四次方=2401；
8的四次方=4096；
...
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∵ 四个数字和的四次方 = 这个四位数
∴ 1000 ≤ 四个数字和的四次方 ≤9999
满足在1000到9999范围内的只有：
6的四次方=1296；
7的四次方=2401；
8的四次方=4096；
9的四次方=6561；
而只有：2+4+0+1 = 7；
∴ 这个四位数是2401.
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设这个四位数为：1000a+100b+10c+d .根据题意得：（a+b+c+d)^4=1000a+100b+10c+d .我们不妨到过来思考：（1）、若（a+b+c+d）=5，那么5^4=625＜1000 .（2）、：若（a+b+c+d）=6，6^4=1296，而（1+2+9+6）=18，显然 18^4≠6^4 .(3)、若：（a+b+c+d）=7 那么7^4=2041 .而（2+0+4+1）=...
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设这个四位数为：1000a+100b+10c+d .根据题意得：（a+b+c+d)^4=1000a+100b+10c+d .我们不妨到过来思考：（1）、若（a+b+c+d）=5，那么5^4=625＜1000 .（2）、：若（a+b+c+d）=6，6^4=1296，而（1+2+9+6）=18，显然 18^4≠6^4 .(3)、若：（a+b+c+d）=7 那么7^4=2041 .而（2+0+4+1）=7 显然 7^4=7^4 .(4)、若
：（a+b+c+d）=8 .那么 8^4=4096 .而（4+0+9+6）=20 显然 20^4＞8^4 ......根据上述推理，很容易得出：
这个四位数是：2041 并且它是唯一的.
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