高数数学题 ! 求极限: 若lim f(x)存在,且f(x)=sinx/x-π +2limf(x), 则limf(x)=?(x→π

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/05/04 01:20:13
高数数学题!求极限:若limf(x)存在,且f(x)=sinx/x-π+2limf(x),则limf(x)=?(x→π高数数学题!求极限:若limf(x)存在,且f(x)=sinx/x-π+2limf

高数数学题 ! 求极限: 若lim f(x)存在,且f(x)=sinx/x-π +2limf(x), 则limf(x)=?(x→π
高数数学题 ! 求极限: 若lim f(x)存在,且f(x)=sinx/x-π +2limf(x), 则limf(x)=?(x→π

高数数学题 ! 求极限: 若lim f(x)存在,且f(x)=sinx/x-π +2limf(x), 则limf(x)=?(x→π
因为lim f(x)存在,则limf(x)是数值,没有未知数x
则limx->π f(x)
=limx->π [sinx/x-π +2limx->πf(x)]
=limx->π [sinx/(x-π)]+2limx->πf(x)
因为当x->π时 分子sinx->0,分母x-π->0,所以应用洛必塔法则,即对分子分母分别求导
原式=limx->π[cosx/1]+2limx->πf(x)
=-1+2limx->πf(x)
即limx->π f(x)=-1+2limx->πf(x)
所以limx->πf(x)=1

x→π 时,lim f(π)=sinπ/π-π+2limf(π),解出来lim f(x)=π

设lim f(x)=a(x->π ),则f(x)=sinx/x-π +2a,所以a=limsinx/(x-π)(x->π ) +2a
所以a=-limsinx/(x-π)(x->π ) =limsin(x-π)/(x-π)(x->π )
=lim{4sin[(x-π)/2]coc[(x-π)/2]/[(x-π)/2](x->π )
=4

因为f(x)=sinx/x-π +2limf(x)
所以x→π lim f(x)=lim [sinx/x-π+2lim f(x)]=lim sinx/x-π+2limlimf(x)=-1+2limf(x)
所以lim f(x)=1