已知三个平面两两相交,有三条交线,证明：这三条交线互相平行或交与一点

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/05/10 05:02:35

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假设三个平面是A、B、C,且A交B于直线L,B交C于直线M,C交A于直线N.因为有三条交线,所以L、M、N三条直线是不同的三条直线,不可能出现重合状态.
因为L和N都是平面A内的直线,而同一个平面内的直线,要么平行,要么相交,所以L和N要么平行,要么有交点.
第一种情况,如果L和N平行,而N同时是平面C内的直线,显然L不是平面C内的直线,否则A、B、C就交于同一条直线L了,所以只限L平行于平面C,也就是说L跟平面C内任何一条直线都没有交点,包括直线M,而L和M又同时是平面B内的直线,我们知道同一个平面内的两条直线如果没有交点,那就是平行了,也就是说L平行于M,此时就有L、M、N互相平行.
第二种情况,如果L和N有交点.假设交于O点,因为O点是L上的一点,而L属于平面B,所以O点是平面B内一点,同理O点也是平面C内一点,也就是说O点是平面B和平面C的公共点,即在B和C的交线上,故O点属于直线M.所以L、M、N交于O点,即三线交于一点.

三个平面总是能交汇于一点除非他们的交线是平行的

说起来蛮麻烦....你用反证法就行...

设这三个平面为α、β、γ，且α∩β＝c，γ∩α＝b，β∩γ＝A．
因为b与c共面于α，所以b与c相交于一点或互相平行。
（1）若b与c相交于点P，易证P必在β与γ的交线a上，即a、b、c相交于一点。
故a‖b‖C．

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