设P是椭圆(x^2)/25+(y^2)/9=1上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求sin∠F1PF2的最大值.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/05/12 08:14:48
设P是椭圆(x^2)/25+(y^2)/9=1上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求sin∠F1PF2的最大值.设P是椭圆(x^2)/25+(y^2)/9=1上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求

设P是椭圆(x^2)/25+(y^2)/9=1上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求sin∠F1PF2的最大值.
设P是椭圆(x^2)/25+(y^2)/9=1上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求sin∠F1PF2的最大值.

设P是椭圆(x^2)/25+(y^2)/9=1上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求sin∠F1PF2的最大值.
答:
椭圆x²/25+y²/9=1
所以:a=5,b=3
解得:c²=25-9=16
所以:c=4
所以:
PF1+PF2=2a=10
F1F2=2c=8
根据余弦定理有:
cos∠F1PF2
=(PF1²+PF2²-F1F2²)/(2PF1*PF2)
=[(PF1+PF2)²-2PF1*PF2-64]/(2PF1*PF2)
=(100-2PF1*PF2-64)/(2PF1*PF2)
=18/(PF1*PF2)-1
因为:PF1*PF2<=(1/4)(PF1+PF2)²=(1/4)*100=25
所以:18/(PF1*PF2)-1>=18/25-1=-7/25
所以:cos∠F1PF2)>=-7/25
当∠F1PF2=90°时,sin∠F1PF2取得最大值1

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