如果a、b、c是一个任意三角形的三条边,试证明：不论x取任何实数,总有b2x2+(b2+c2-a2)x+c2＞0.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/10 17:50:59
如果a、b、c是一个任意三角形的三条边,试证明：不论x取任何实数,总有b2x2+(b2+c2-a2)x+c2＞0.
如果a、b、c是一个任意三角形的三条边,试证明：不论x取任何实数,总有b2x2+(b2+c2-a2)x+c2＞0.
如果a、b、c是一个任意三角形的三条边,试证明：不论x取任何实数,总有b2x2+(b2+c2-a2)x+c2＞0.
判别式
=(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2
=(b^2+c^2-a^2+2bc)(b^2+c^2-a^2-2bc)
=(b+c+a)(b+c-a)(b-c-a)(b-c+a)
b+c+a>0
b+c-a>0
b-c-a<0
b-c+a>0
所以判别式<0
所以不论x去任何实数,总有b平方x平方+（b平方+c平方-a平方）x+c平方>0
△=（b²+c²-a²）²-4b²c²=……=（b+c+a）(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)
因为abc是三角形的三边，
所以a+b+c>0,b+c-a>0,b-c+a=b+a-c>0,b-c-a=b-(c+a)<0
所以（b+c+a）(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)<0,即△<0
全部展开
△=（b²+c²-a²）²-4b²c²=……=（b+c+a）(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)
因为abc是三角形的三边，
所以a+b+c>0,b+c-a>0,b-c+a=b+a-c>0,b-c-a=b-(c+a)<0
所以（b+c+a）(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)<0,即△<0
所以原不等式的解集是全体实数，即“不论……”
说明1，当△<0时，抛物线y=b²x²+（b²+c²-a²）x+c²与x轴没有交点，全部在x轴的上方，所以y总是大于0.
2，上面各个因式的符号是利用三角形三边关系得到的。例如由于b+c>a,所以b+c-a>0……。
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