一道高中竞赛几何题雅可比定理ABCD共圆O,AC,BD交于G,AB,CD交于E,AD,BC交于F,M是完全四边形ABCD密克点,ABCD共圆O,AC,BD交于G,AB,CD交于E,AD,BC交于F,M是完全四边形ABCD密克点,为什么GM垂直于EF?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/08 23:33:07
一道高中竞赛几何题雅可比定理ABCD共圆O,AC,BD交于G,AB,CD交于E,AD,BC交于F,M是完全四边形ABCD密克点,ABCD共圆O,AC,BD交于G,AB,CD交于E,AD,BC交于F,M是完全四边形ABCD密克点,为什么GM垂直于EF?
一道高中竞赛几何题雅可比定理ABCD共圆O,AC,BD交于G,AB,CD交于E,AD,BC交于F,M是完全四边形ABCD密克点,ABCD共圆O,AC,BD交于G,AB,CD交于E,AD,BC交于F,M是完全四边形ABCD密克点,为什么GM垂直于EF?
一道高中竞赛几何题雅可比定理ABCD共圆O,AC,BD交于G,AB,CD交于E,AD,BC交于F,M是完全四边形ABCD密克点,ABCD共圆O,AC,BD交于G,AB,CD交于E,AD,BC交于F,M是完全四边形ABCD密克点,为什么GM垂直于EF?
先来说明几个相关的结论：
1.四边形ABCD的密克点在EF上
（∠EMC+∠FMC=∠CBA+∠CDA=180°）
2.EF²=点E关于圆O的幂+点F关于圆O的幂,即EF²=（EO²-r²）+（FO²-r²）
（EF²=EF×（EM+FM）=EM×EF+FM×FE=EC×ED+FC×FB）
3.EG²=点E关于圆O的幂+点G关于圆O的幂,即EG²=（EO²-r²）+（GO²-r²）
（延长EG至点K,使得EG×GK=AG×GC①
则E,C,K,A四点共圆
则∠EKC=∠EAC=∠BDC
从而C,D,K,G四点共圆
EG×EK=EC×ED②
②减①得EG²=EC×ED-AG×GC）
下面证明GM⊥EF
只要证明EG²-FG²=EM²-FM²
而EG²-FG²=（点E关于圆O的幂+点G关于圆O的幂）-（点F关于圆O的幂+点G关于圆O的幂）=点E关于圆O的幂-点F关于圆O的幂
EM²-FM²=（EM×EF/EF）²-（FM×FE/FE）²=（EC×ED/EF）²-（FC×FB/EF）²=1/EF²（点E关于圆O的幂²-点F关于圆O的幂²）=1/EF²（点E关于圆O的幂+点F关于圆O的幂）×（点E关于圆O的幂-点F关于圆O的幂）=点E关于圆O的幂-点F关于圆O的幂
即EG²-FG²=点E关于圆O的幂-点F关于圆O的幂=EM²-FM²
得证