已知A^2+A+E=0,试证:A-E,A+2E均可逆并求其逆矩阵

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/05/09 05:21:21

已知A^2+A+E=0,试证:A-E,A+2E均可逆并求其逆矩阵已知A^2+A+E=0,试证:A-E,A+2E均可逆并求其逆矩阵已知A^2+A+E=0,试证:A-E,A+2E均可逆并求其逆矩阵因为A^

已知A^2+A+E=0,试证:A-E,A+2E均可逆并求其逆矩阵
已知A^2+A+E=0,试证:A-E,A+2E均可逆并求其逆矩阵

已知A^2+A+E=0,试证:A-E,A+2E均可逆并求其逆矩阵
因为A^2+A+E=0
所以A^2+A-2E=-3E
所以(A-E)(A+2E)=-3E
两边取行列式
得|A-E|*|A+2E|=|-3E|=(-3)^n≠0（n为阶数）
所以|A-E|≠0且|A+2E|≠0
所以A-E,A+2E均可逆
又因为(A-E)(A+2E)=-3E
所以A-E的逆矩阵为(A+2E)/(-3),A+2E的逆矩阵为(A-E)/(-3)

当已知A的等式，求与A有关的矩阵是否可逆或者让求出其可逆矩阵时，都可以由等式配凑出来
一上题为例，先求A-E的逆矩阵，则等式A^2+A+E=0一定可以配成（A+E）（？）=E的形式，在配凑时注意先配出A^2和A的一次项，那么等式变为（A+E）A=-E即（A+E）（-A）=E，所以A+E的逆矩阵就是-A，同理可配成（A+2E）（A-E）/-3=E,所以A+2E的逆矩阵是（A-E）/-3....

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