判断函数f（x）=根号下（x-3）+根号下（5-x） 在区间(3,4）上的单调性!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/06 01:47:18
判断函数f（x）=根号下（x-3）+根号下（5-x） 在区间(3,4）上的单调性!
判断函数f（x）=根号下（x-3）+根号下（5-x） 在区间(3,4）上的单调性!
判断函数f（x）=根号下（x-3）+根号下（5-x） 在区间(3,4）上的单调性!
f(x)=√(x-3)+√(5-x)
(f(x))^2=x-3+5-x+2√(x-3)(5-x)=2+2√(-x^2+8x-15)
-x^2+8x-15=-(x-4)^2+1
当x在(3,4)之间时,呈单调递增,因为f(x)一定不小于0,所以f(x)递增
所以当x=4时,√(-x^2+8x-15)取得最大值为1
函数f(x)在区间(3,4)之间为单调递增
首先，定义域[3,5]
其次，这个函数值大于0，平方后不影响函数的增减性
因此[f(x)]^2=[√（x-3）+√（5-x）]^2
=x-3+5-x+2√[(x-3)(5-x)]
=2+2√[(x-3)(5-x)]
后面根号里的可以判断出增减性吧？那个就是f(x)的增减性
∵√(x-3) ≥0， √(5-x)≥0
∴y = √(x-3) + √(5-x) ＞0
y²=x-3+5-x+2√(x-3)(5-x)=2+2√[(x-3)(5-x)]=2+2√[-(x-4)²+1]
∵x∈(3，4)，
x-4∈（-1,0)，
(x-4)²∈（0，1），
-(x-4)²+1∈（0，1)
全部展开
∵√(x-3) ≥0， √(5-x)≥0
∴y = √(x-3) + √(5-x) ＞0
y²=x-3+5-x+2√(x-3)(5-x)=2+2√[(x-3)(5-x)]=2+2√[-(x-4)²+1]
∵x∈(3，4)，
x-4∈（-1,0)，
(x-4)²∈（0，1），
-(x-4)²+1∈（0，1)
2√[-(x-4)²+1]∈（0，2)
2+2√[-(x-4)²+1]∈（2，4)，
即y²∈（2，4)，
y∈（√2，2)
∴值域 (√2，2)
收起
[根号2,2]