抛物线的一道题已知L为抛物线y^2=2px（p>0）的准线,AB为过焦点F的弦,M为AB的中点,过M作直线L的垂线,垂足是N,MN交抛物线于点P,求证：点P必平分线段MN.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/10 10:15:48
抛物线的一道题已知L为抛物线y^2=2px（p>0）的准线,AB为过焦点F的弦,M为AB的中点,过M作直线L的垂线,垂足是N,MN交抛物线于点P,求证：点P必平分线段MN.
抛物线的一道题
已知L为抛物线y^2=2px（p>0）的准线,AB为过焦点F的弦,M为AB的中点,过M作直线L的垂线,垂足是N,MN交抛物线于点P,求证：点P必平分线段MN.
抛物线的一道题已知L为抛物线y^2=2px（p>0）的准线,AB为过焦点F的弦,M为AB的中点,过M作直线L的垂线,垂足是N,MN交抛物线于点P,求证：点P必平分线段MN.
设AB:x=ky+p/2
与抛物线联立得y^2-2pky-p^2=0
MPN三点纵坐标yM=yP=yN=(y1+y2)/2=pk
∴M(pk^2+p/2,pk) P(pk^2/2,pk) N(-p/2,pk)
得MN中点为(pk^2/2,pk)即为P
∴P平分线段MN
过M,A,B做准线的垂线，然后不解释
考前会做~现在忘了 呵呵 抱歉~
证明：（1）当AB垂直于x轴时 ，P为原点，M,N是两焦点，符合平分条件
（2）当AB不垂直于x轴时，设直线方程为x=my+p/2(m不为0）
联立
y^2=2px①
x=my+p/2②
消去x,得y^2-2pmy-p^2=0
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证明：（1）当AB垂直于x轴时 ，P为原点，M,N是两焦点，符合平分条件
（2）当AB不垂直于x轴时，设直线方程为x=my+p/2(m不为0）
联立
y^2=2px①
x=my+p/2②
消去x,得y^2-2pmy-p^2=0
M是AB中点设M坐标是（X,Y）
Y=(YA+YB)/2
由韦达定理，
Y=pm,则X=(m^2+1/2)p
N的坐标是（-1/2 p,pm)
在抛物线方程中令y=pm,得P的横坐标是1/2 pm^2
P的坐标是（1/2 pm^2,pm)
计算[X+(-1/2 p)]/2=1/2 pm^2
所以，P是MN的中点
所以，点P必平分线段MN。
收起
设AB:x=ky+p/2
与抛物线联立得y^2-2pky-p^2=0
MPN三点纵坐标yM=yP=yN=(y1+y2)/2=pk
所以M(pk^2+p/2,pk) P(pk^2/2,pk) N(-p/2,pk)
得MN中点为(pk^2/2,pk)即为P
所以P平分线段MN
对不对由你来判，应该对，有百分之99的几率