已知a+b+c=0,abc=8 求证a分之1+b分之一+c分之一小于0

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/01 07:34:06
已知a+b+c=0,abc=8求证a分之1+b分之一+c分之一小于0已知a+b+c=0,abc=8求证a分之1+b分之一+c分之一小于0已知a+b+c=0,abc=8求证a分之1+b分之一+c分之一小

已知a+b+c=0,abc=8 求证a分之1+b分之一+c分之一小于0
已知a+b+c=0,abc=8 求证a分之1+b分之一+c分之一小于0

已知a+b+c=0,abc=8 求证a分之1+b分之一+c分之一小于0
由题意,易知a,b,c中有两个数为负数,一个数为正数
不妨设,a≤b<0<c
1/a=bc/8,1/b=ac/8,1/c=ab/8
1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ac)/8
=[a(b+c)+bc]/8
=(-a²+bc)/8
因为-a²<0,bc<0
所以-a²+bc<0,即(-a²+bc)/8<0
于是1/a+1/b+1/c<0

简而言之,a+b+c=0.abc为正数,故abc三个数有两个为负,一个为正。不妨设a为正,bc为负,则,若满足上述条件,a的绝对值大于b或c的绝对值。那么a分之一必小于b的绝对值分之一,即:两者相加必小于0,而c分之一也为负,即原题得证

证:
abc=8≠0,a≠0,b≠0,c≠0
a+b+c=0
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=0
ab+bc+ca=-(a²+b²+c²)/2
a≠0,b≠0,c≠0
a²+b²+c²>0
ab+bc+ca<0

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证:
abc=8≠0,a≠0,b≠0,c≠0
a+b+c=0
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=0
ab+bc+ca=-(a²+b²+c²)/2
a≠0,b≠0,c≠0
a²+b²+c²>0
ab+bc+ca<0
1/a+1/b+1/c
=(1/8)(8/a+8/b+8/c)
=(1/8)(abc/a+abc/b+abc/c)
=(1/8)(bc+ac+ab)<0
1/a+1/b+1/c<0

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