如图,已知三角形ABC为等边三角形,AD=BE=CF,CD.AE.BF分别相交于点M.N.P.求证：三角形MNP为等边三角形.20分钟,跪求!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/10 15:08:44
如图,已知三角形ABC为等边三角形,AD=BE=CF,CD.AE.BF分别相交于点M.N.P.求证：三角形MNP为等边三角形.20分钟,跪求!
如图,已知三角形ABC为等边三角形,AD=BE=CF,CD.AE.BF分别相交于点M.N.P.求证：三角形MNP为等边三角形.
20分钟,跪求!
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∵三角形ABC为等边三角形
∴AB=BC=CA,∠A=∠B=∠C
又,AD=BE=CF
∴△ABE≌△BCF≌△CAE
∠BAE=∠CBF=∠ACD,∠AEB=∠BFC=∠CDA
∴∠AMD=∠BNE=∠AMD
∠MNP=∠NPM=∠PMN
因此,△MNP为等边三角形
△ABE≌△ABE≌△ABE，【SAS】
∠BAE=∠CBF=∠ACD
∠BEA=∠CFB=∠ADC
故∠MNP=∠BNE=∠B=60°，
同理∠NPM=60°，∠PMN=60°，
因此三角形MNP为等边三角形；
通过SAS可以很容易证明△BCF≌△ACD≌△ABE
故∠BAE=∠CBF=∠ACD
∠MPN=∠CBF+∠PCB=∠ACD+∠PCB=60°
同理可推得∠MNP=∠PMN=60°
即△MNP的三个内角都是60°，故△MNP是等边三角形
三角形全等
所以AB=BC=CA
角ABC=角BCA=角CAB
AD=BE=CF
所以三角形ADC≌△BEA≌△CFB
所以∠FBC=∠DCA=∠EAB
∠BEA=∠CFB=∠ADC
又因为∠MNP=∠BNE=180°-∠FBC-∠BEA
∠NPM=∠FPC=180°-∠DCA-∠CFB<...
全部展开
三角形全等
所以AB=BC=CA
角ABC=角BCA=角CAB
AD=BE=CF
所以三角形ADC≌△BEA≌△CFB
所以∠FBC=∠DCA=∠EAB
∠BEA=∠CFB=∠ADC
又因为∠MNP=∠BNE=180°-∠FBC-∠BEA
∠NPM=∠FPC=180°-∠DCA-∠CFB
∠NMP=∠DMA=180°-∠EAB-∠ADC
所以∠MNP=∠NPM=∠NMP
所以△MNP为等边三角形
收起
证明：因为三角形ABC威登彼岸三角形，边都相等，3个角为60度
又因为AD=BE=CF，所以BD、CE、AF边相等
所以三角形ABE、CAD、BCF全等（根据边角边相等）
同理三角形AEC、BDC、ABF全等（根据边角边相等）
所以CD、BF、AE三边相等，角FBC、ACD、BAE、都相等
角AEC、BDC、BFA相等
所以角AEB、BFC、CDA（...
全部展开
证明：因为三角形ABC威登彼岸三角形，边都相等，3个角为60度
又因为AD=BE=CF，所以BD、CE、AF边相等
所以三角形ABE、CAD、BCF全等（根据边角边相等）
同理三角形AEC、BDC、ABF全等（根据边角边相等）
所以CD、BF、AE三边相等，角FBC、ACD、BAE、都相等
角AEC、BDC、BFA相等
所以角AEB、BFC、CDA（补角相等）
所以三角形BEN、CPF、ADM全等（角边角）
所以EN、FP、DM三边相等
因为之前求的AE、BF、CD相等
所以MN、EP、MF相等，即三角形MNP为等边三角形
收起