一道函数方程题.f(x)=Inx +x,若2mf(x)=x^2(m>0)有唯一解,求m的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/04/29 05:53:05
一道函数方程题.f(x)=Inx +x,若2mf(x)=x^2(m>0)有唯一解,求m的值.
一道函数方程题.
f(x)=Inx +x,若2mf(x)=x^2(m>0)有唯一解,求m的值.
一道函数方程题.f(x)=Inx +x,若2mf(x)=x^2(m>0)有唯一解,求m的值.
原式可化为
1/2m=f(x)/x^2=lnx/x^2+1/x
设g(x)=lnx/x^2+1/x
则g‘(x)=[(1/x)*x^2-2x*lnx]/x^4-1/x^2=（1-2lnx-x）/x^3
因为定义域x>0,下面讨论1-2lnx-x的符号.
令p（x）=1-2lnx-x,p的定义域也为x>0.
对p求导p'=-2/x-1
m=1/2 交点（1,1）
解 ：因为f(1)=1
所以2mf(1)=1 所以m=0.5
2mf(x)=x^2
f(x)=x^2/(2m)
lnx=-x+x^2/(2m) ----------------(1)
如2mf(x)=x^2(m>0)有唯一解,则：曲线 lnx 和 -x+x^2/(2m) 在交点处的斜率相等
所以：(lnx)'=[-x+x^2/(2m)]'
x^2=mx+m
代入(1)得：
lnx=-x+(mx+m)/(...
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2mf(x)=x^2
f(x)=x^2/(2m)
lnx=-x+x^2/(2m) ----------------(1)
如2mf(x)=x^2(m>0)有唯一解,则：曲线 lnx 和 -x+x^2/(2m) 在交点处的斜率相等
所以：(lnx)'=[-x+x^2/(2m)]'
x^2=mx+m
代入(1)得：
lnx=-x+(mx+m)/(2m)
即：lnx=(1-x)/2
此方程的解为x=1, 这也就是方程2mf(x)=x^2(m>0)有唯一解时的那个解
将x=1代入2mf(x)=x^2
得：2mf(1)=1
2m=1
m=0.5
收起
有唯一解，根据左右两边函数的图像看出两切线在相切时才有唯一点。
求左右两边的切点，并使其相等。