进 一定是天才啊ABC 为三角形.过 A 和 B 的圆分别交线段 AC 和 BC 于 D 和 E .AB 延长线和 DE 延长线交于 F.BD 延长线和CF 延长线交于 M.证明 MF = MC 当且仅当 MB.MD = MC^2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/06 00:15:02
进 一定是天才啊ABC 为三角形.过 A 和 B 的圆分别交线段 AC 和 BC 于 D 和 E .AB 延长线和 DE 延长线交于 F.BD 延长线和CF 延长线交于 M.证明 MF = MC 当且仅当 MB.MD = MC^2
进 一定是天才啊
ABC 为三角形.过 A 和 B 的圆分别交线段 AC 和 BC 于 D 和 E .AB 延长线和 DE 延长线交于 F.BD 延长线和CF 延长线交于 M.证明 MF = MC 当且仅当 MB.MD = MC^2
进 一定是天才啊ABC 为三角形.过 A 和 B 的圆分别交线段 AC 和 BC 于 D 和 E .AB 延长线和 DE 延长线交于 F.BD 延长线和CF 延长线交于 M.证明 MF = MC 当且仅当 MB.MD = MC^2
首先,不是BD 延长线和CF 延长线交于 M,而是BD 延长线和CF 交于 M (即M在C和F之间),不然不可能 MF = MC.
证明：
1.先证明AE平行于CF.
∵ MB.MD = MC^2,即 MB/MC = MC/MD
∴ 共角三角形 △BMC 相似于 △CMD
∴ ∠MBC = ∠MCD
∵ 同弦(弧)所对圆周角相等
∴ ∠DBE = ∠DAE
∴ ∠MCD = ∠MBC ≡ ∠DBE = ∠DAE ≡ ∠CAE
∠MCD和∠CAE为相等的内对角
∴ AE平行于CF
2.证明△BMF 相似于 △FMD
∵ AE平行于CF
∴ 内对角∠MFD = ∠DEA
∵ 同弦(弧)所对圆周角相等
∴ ∠DEA = ∠DBA ≡ ∠MBF
∴ ∠MFD = ∠MBF
∴ △BMF 相似于 △FMD
3.最后步骤
∵ △BMF 相似于 △FMD
∴ MB/MF = MF/MD,即 MB.MD = MF^2
再由已知条件 MB.MD = MC^2
得出 MF = MC
证毕