数列an+1=an+（1/2）^n+1,n属于自然数,且a1=1,设bn=1/2an-3/4数列an+1=an+（1/2）^n+1,且a1=1,设bn=1/2an-3/4(1)求数列{an}的通项公式(2)若cn=2n-1,n属于自然数,求数列{bn*cn}的前n项和Sn(3)在(2)的条件下,若Tn=(-3n²
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/11 17:56:54
数列an+1=an+（1/2）^n+1,n属于自然数,且a1=1,设bn=1/2an-3/4数列an+1=an+（1/2）^n+1,且a1=1,设bn=1/2an-3/4(1)求数列{an}的通项公式(2)若cn=2n-1,n属于自然数,求数列{bn*cn}的前n项和Sn(3)在(2)的条件下,若Tn=(-3n²
数列an+1=an+（1/2）^n+1,n属于自然数,且a1=1,设bn=1/2an-3/4
数列an+1=an+（1/2）^n+1,且a1=1,设bn=1/2an-3/4
(1)求数列{an}的通项公式
(2)若cn=2n-1,n属于自然数,求数列{bn*cn}的前n项和Sn
(3)在(2)的条件下,若Tn=(-3n²-2n+3)/(2(n+1)²),n属于自然数,试比较Sn与Tn的大小,并说明理由.
重点是第三问,前两问留下来给我校对校对.
数列an+1=an+（1/2）^n+1,n属于自然数,且a1=1,设bn=1/2an-3/4数列an+1=an+（1/2）^n+1,且a1=1,设bn=1/2an-3/4(1)求数列{an}的通项公式(2)若cn=2n-1,n属于自然数,求数列{bn*cn}的前n项和Sn(3)在(2)的条件下,若Tn=(-3n²
（1）
∵an+1=an+（1/2）^n+1
∴n≥2时,有
an=a(n-1)+(1/2)^n
an-a(n-1)=(1/2)^n
a2-a1=(1/2)^2
a3-a2=(1/2)^3
a4-a3=(1/2)^4
.
an-a(n-1)=(1/2)^n
将上面n-1个等式两边相加：
an-a1=(1/2)^2+(1/2)^3+.+(1/2)^n
=1/4*[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)
=1/2-(1/2)^n
∵a1=1
∴an=3/2-(1/2)^n
当n=1时,上式也成立
∴an=3/2-(1/2)^n
(2)
bn=1/2an-3/4=-(1/2)^(n+1)
cn=2n-1
∴数列{bn*cn}的前n项和
Sn=-(1/2)^2-3*(1/2)^3-5*(1/2)^4-.-(2n-1)(1/2)^n+1) ①
①×1/2
1/2Sn=-(1/2)^3-3*(1/2)^4-5*(1/2)^5-.-(2n-3)(1/2)^(n+1)-(2n-1)*(1/2)^（n+2) ②
①-②:
1/2Sn=-(1/2)^2-(1/2)^2-(1/2)^3-(1/2)^4-.-(1/2)^n +(2n-1)*(1/2)^(n+2)
=-1/4-1/4[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)+(2n-1)*(1/2)^(n+2)
=-1/4-1/2+(1/2)^n+(2n-1)*(1/2)^(n+2)
=-3/4+(2n+3)*(1/2)^(n+2)
∴Sn=-3/2+(2n+3)*(1/2)^(n+1)
(3)
Tn=(-3n²-2n+3)/(2(n+1)²)
=[-3(n+1)²+(4n+6)]/[2(n+1)²]
=-3/2+(2n+3)/(n+1)²
Tn与Sn的大小关键比较1/2^(n+1)与1/(n+1)²的大小
即是比较2^(n+1)与(n+1)²的大小
当n=1时,2^(n+1)=(n+1)^3,S1=T1
当n=2时,2^(n+1)T2
当n=3时,2^(n+1)=(n+1)²,S3=T3
当n=4时,2^(n+1)>(n+1)²,S4(k+1)²成立
那么2^(k+2)=2*2^(k+1)>2*(k+1)²
2(k+1)²-(k+2)²
=k²-2k-2
=(k-1)²-3
∵k≥4
∴(k-1)²-3≥(4-1)²-3≥6>0
∴2^(k+2)>(k+2)²
即当n=k+1时,2^(n+1)>(n+1)²成立
由1）2）知,n∈N*2^(n+1)>(n+1)²成立
∴n≥4时,Sn