如图,设抛物线方程为x2=2py（p＞0）,M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.求证以A、B为切点两切线互相垂直
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/10 18:36:54
如图,设抛物线方程为x2=2py（p＞0）,M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.求证以A、B为切点两切线互相垂直
如图,设抛物线方程为x2=2py（p＞0）,M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.
求证以A、B为切点两切线互相垂直
如图,设抛物线方程为x2=2py（p＞0）,M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.求证以A、B为切点两切线互相垂直
证明：y=x²/(2p)；y'=x/p；设切点A(x₁,y₁)；切点B(x₂,y₂)；那么过A点的切线的斜率k₁=x₁/p；
过切点B的切线的斜率k₂=x₂/p；
设M(m,-2p)；则切线MA的方程为y=(x₁/p)(x-m)-2p；令(x₁/p)(x-m)-2p=x²/(2p);
去分母,移项得x²-2x₁x+2x₁m+4p²=0；因为切线与抛物线只有一个交点,因此其判别式：
△=4x₁²-4(2x₁m+4p²)=4x₁²-8mx₁-16p²=0,即有x₁²-2mx₁-4p²=0.(1)
同理,切线MB的方程为y=(x₂/p)(x-m)-2p；令(x₂/p)(x-m)-2p=x²/(2p);
去分母,移项得x²-2x₂x+2x₂m+4p²=0；因为切线与抛物线只有一个交点,因此其判别式：
△=4x₂²-4(2x₂m+4p²)=4x₂²-8mx₂-16p²=0,即有x₂²-2mx₂-4p²=0.(2)
(1)-(2)得(x₁-x₂)(x₁+x₂)-2m(x₁-x₂)=(x₁-x₂)(x₁+x₂-2m)=0；因为x₁-x₂≠0,故必有x₁+x₂-2m=0,
即有x₁+x₂=2m.(3)
(1)+(2)得x₁²+x₂²-2m(x₁+x₂)-8p²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂-2m(x₁+x₂)-8p²=0
将(3)代入得4m²-2x₁x₂-4m²-8p²=-2x₁x₂-8p²=0,
故得x₁x₂=-4p².(4)
y₁+y₂=(x₁²+x₂²)/2p=[(x₁+x₂)²-2x₁x₂]/2p=(4m²+8p²)/2p.(5)
y₁y₂=(x₁x₂)²/(4p²)=16p⁴/(4p²)=4p².(6)
向量MA=(x₁-m,y₁+2p)；向量MB=(x₂-m,y₂+2p)；
MA•MB=(x₁-m)(x₂-m)+(y₁+2p)(y₂+2p)=x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²+y₁y₂+2p(y₁+y₂)+4p²
=-4p²-2m²+m²+4p²+(4m²+8p²)+4p²=3m²+16p²≠0
因此MA与MB不垂直.
【原题是不是有错?】
是解答题吗,如果不是,m找一个特殊位置,即(0,-2p)则A,B也能算了,
如果是解答题,很麻烦的,只供思路====>设M(x.y),A(x1,y1),B(x2,y2)把直线AM,BM,AB表示出了找出其中关系即可解出来