证明：ln(2^2)/2^2+ln(3^2)/3^2+ln(4^2)/4^2+.ln(n^2)/n^2

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/05/10 12:25:50

证明：ln(2^2)/2^2+ln(3^2)/3^2+ln(4^2)/4^2+.ln(n^2)/n^2证明：ln(2^2)/2^2+ln(3^2)/3^2+ln(4^2)/4^2+.ln(n^2)/n

证明：ln(2^2)/2^2+ln(3^2)/3^2+ln(4^2)/4^2+.ln(n^2)/n^2
证明：ln(2^2)/2^2+ln(3^2)/3^2+ln(4^2)/4^2+.ln(n^2)/n^2

证明：ln(2^2)/2^2+ln(3^2)/3^2+ln(4^2)/4^2+.ln(n^2)/n^2
在证明上式前,先证明:ln(x)<= x-1对于x≥1恒成立(这个用构造函数,求导,不难证明)
如是,令x = n^2,则 ln(n^2)<= (n^2)-1,两边同除以n^2,得(2lnn)/(n^2)<1-(1/n)^2
然后令n=2,3……,n可得到一系列不等式,叠加,得
（2ln2)/(2^2)+(2ln3)/(3^2)+(2ln4)/(4^2)+……+(2lnn)/(n^2)
＜n-{(1/4)+(1/9)+……+（1/n^2)}＜n-{(1/6)+(1/12)+……+1/n(n+1)}=（2n^2-n-1)/2(n+1)
两边同除2,：(ln2)/(2^2)+(ln3)/(3^2)+(ln4)/(4^2)+……+(lnn)/(n^2）＜（2n^2-n-1)/4(n+1)成立

首先可以证明函数lnx≤x-1 (当x≥1的时候）
然后通项ln(n^2)/n^2≤(n²-1)/n²=1-(1/n²)<1-1/[n(n+1)]=1-[(1/n)-1/(n+1)]
然后求和：左边<(n-1)-[1/2-1/(n+1)]通分等于右边。（注意左边共n-1项）

全部展开

两边同时乘以（-1）将（-1）放到指数上
左边变成：(ln1/4)/4+(ln1/9)/9+...+(ln1/ n^2)/n^2
令f(x)=xlnx 则f(x)/x=lnx单调增加，所以
(ln1/4)/4+(ln1/9)/9+...+(ln1/ n^2)/n^2>(1/4+1/9+...+1/n^2)ln(1/4+1/9+...+1/n^2)
又 1/n(n+1)<1/n^2<1/n(n-1)
(1/4+1/9+...+1/n^2)>1/2-1/(n+1)
(1/4+1/9+...+1/n^2)<1-1/n
所以ln(1/4+1/9+...+1/n^2)(1/4+1/9+...+1/n^2)ln(1/4+1/9+...+1/n^2)>[1/2-1/(n+1)]*ln(1-1/n)>(1-n)/2(n+1)*(-1/n)>-(2n^2-n-1)/(2n+2)

收起

、证明ln(n!)^2 证明:ln 2/3+ln 3/4+ln 4/5+……+ln n/（n+1）1） y=ln(ln^2(ln^3 x))求导数 ln (2x+3) 证明：ln(2^2)/2^2+ln(3^2)/3^2+ln(4^2)/4^2+.ln(n^2)/n^2 关于ln 的加减乘除.请高手教下,怎么计算?比如 ln 1 - ln 2; ln 1+ ln 2; ln 1* ln 2; ln 1/ ln 2 证明：（X+1)ln'2(X+1) 求导y=ln ln ln(x^2+1) 用数学归纳法证明证明:ln(1+1*2)+ln(1+2*3)+……+ln[1+n(n+1)]>2n-3(n属于N*)RT 解ln方程ln（x-5）+ln（x+3）-2ln2=ln（2x-9） ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…ln(1+1/n-1)怎么化简为什么3/2-2ln 2能化简到1/2(ln e^3-ln 16) ln(x-5)+ln(x+3)-2ln2=ln(2x-9)求未知数已知3^a=4^b=36,求2/a+1/b的值a=ln(36)/ln(3);b=ln(36)/ln(4);2/a+1/b=2*ln(3)/ln(36)+ln(4)/ln(36)=ln(9)/ln(36)+ln(4)/ln(36)=[ln(9)+ln(4)]/ln(36)=ln(9*4)/ln(36)=1 我想请问一下a=ln(36)/ln(3);b=ln(36)/ln(4)是怎么求出来的? ln(e)2=? ln 2x求导 ln(-2x)求导 ln (1/e^2)