已知曲线积分 ∫L2xyf(x)dx+[f(x)+x^2]dy的值与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)=2,求f(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/11 19:01:49
已知曲线积分 ∫L2xyf(x)dx+[f(x)+x^2]dy的值与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)=2,求f(x)
已知曲线积分 ∫L2xyf(x)dx+[f(x)+x^2]dy的值与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)=2,求f(x)
已知曲线积分 ∫L2xyf(x)dx+[f(x)+x^2]dy的值与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)=2,求f(x)
由于积分与路径无关,2xf(x)=f '(x)+2x
则 f '(x)-2xf(x)=-2x,一阶线性微分方程,套公式
f(x)=e^(∫2xdx)[∫ -2xe^(-∫2xdx) dx+C]
=e^(x²)[-∫ 2xe^(-x²) dx +C]
=e^(x²)[-∫ e^(-x²) d(x²) +C]
=e^(x²)[e^(-x²)+C]
=1+Ce^(x²)
将f(0)=2代入得：2=1+C,得C=1
因此：f(x)=1+e^(x²)
曲线积分 ∫L2xyf(x)dx+[f(x)+x^2]dy的值与路径无关杀我条件是
ə【2xyf(x)】/əy=ə【f(x)+x^2】/əx
2xf(x)=f'(x)+2x
f'(x)-2xf(x)=-2x
即求微分方程的s'-2xs=-2x①
s'=2xs<=> s =ce^(x²)
令s...
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曲线积分 ∫L2xyf(x)dx+[f(x)+x^2]dy的值与路径无关杀我条件是
ə【2xyf(x)】/əy=ə【f(x)+x^2】/əx
2xf(x)=f'(x)+2x
f'(x)-2xf(x)=-2x
即求微分方程的s'-2xs=-2x①
s'=2xs<=> s =ce^(x²)
令s=u(x)e^(x²) 为方程①的解
u'e^(x²)=-2x： u=∫-2xe^(-x²)dx=e^(-x²)+c
∴s=f(x)=[e^(-x²)+c]e^(x²)=1+ce^(x²)
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