质数a异于3,则a的平方除以3余1.求证明.我试了很多数的确如此,当我想知道为什么.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/01 06:48:51
质数a异于3,则a的平方除以3余1.求证明.我试了很多数的确如此,当我想知道为什么.
质数a异于3,则a的平方除以3余1.
求证明.我试了很多数的确如此,当我想知道为什么.
质数a异于3,则a的平方除以3余1.求证明.我试了很多数的确如此,当我想知道为什么.
a=2时,a²=4,符合题意
a≥5时,只需证明a²-1是24的倍数
∵a²-1=(a+1)(a-1)
a+1,a,a-1为3个连续的正整数,必有一个能被3整除,
显然a不能,则a+1和a-1有一个为3的倍数.
正整数a除以4 后余数有4种可能:0,1,2,3,
由于a是质数 ,排除0和2(大于3的质数为奇).
则可能情况剩下2种:余1或者3..
若a除以4余3,则a+1被4整除,且a-1是偶数,能被2整除
所以在a+1,a-1中,有2的倍数,3的倍数,4的倍数
∴(a+1)(a-1)为2×3×4=24的倍数
若a除以4余1,则a-1被4整除,且a+1是偶数,能被2整除
仍有(a+1)(a-1)为24的倍数
综上,a²-1能被24整除,当然能被3整除
即质数a异于3,则a的平方除以3余1.
不知道楼主数学什么水平,我在这里用初等数论来解释。
首先我们将质数分为大于3,3和2,显然 2的时候成立。
接着,我们讨论大于3的情况:
我们可以将所有大于3的质数表示为(3+2a)的形式a为正整数(大于3的质数均为奇数)
平方后展开为9+12a+4a^2,显然(9+12a)可以被3整除,再讨论a的情况
1、a除3余1时,4a^2除3余一(同余解释)
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不知道楼主数学什么水平,我在这里用初等数论来解释。
首先我们将质数分为大于3,3和2,显然 2的时候成立。
接着,我们讨论大于3的情况:
我们可以将所有大于3的质数表示为(3+2a)的形式a为正整数(大于3的质数均为奇数)
平方后展开为9+12a+4a^2,显然(9+12a)可以被3整除,再讨论a的情况
1、a除3余1时,4a^2除3余一(同余解释)
2、a除3余2时,a^2模三余一,4a^2除3余1(同余解释)
3、a可被3整除时,(3+2a)不为质数,不合题意。
综上所述,原命题得证。
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