O为三角形外心,向量AB模16,向量AC模10倍根号2,若向量AO等于x乘向量AB＋Y乘向量AC,且32X＋25Y等于25,求向量AO的模
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/04/29 07:48:36
O为三角形外心,向量AB模16,向量AC模10倍根号2,若向量AO等于x乘向量AB＋Y乘向量AC,且32X＋25Y等于25,求向量AO的模
O为三角形外心,向量AB模16,向量AC模10倍根号2,若向量AO等于x乘向量AB＋Y乘向量AC,且32X＋25Y等于25,
求向量AO的模
O为三角形外心,向量AB模16,向量AC模10倍根号2,若向量AO等于x乘向量AB＋Y乘向量AC,且32X＋25Y等于25,求向量AO的模
三角形外心是三条边的垂直平分线的交点,
因此根据数量积的定义,AO*AB=|AO|*|AB|*cos∠OAB=1/2*|AB|*|AB|=128 ,
同理 AO*AC=1/2*|AC|*|AC|=100 .
在 AO=xAB+yAC 的两边分别同乘以 AB、AC ,
可得 AO*AB=128=256x+yAB*AC ,----------①
AO*AC=100=xAB*AC+200y ,----------②
又 32x+25y=25 ,----------③
由以上三式可解得 x=25/56 ,y=24/56 ,AB*AC=32 或 x=25/8 ,y= -3 ,AB*AC=224,
所以,由 AO^2=x^2*AB^2+y^2*AC^2+2xy*AB*AC=100
得 |AO|=10 .
由32x+25y=25得y=1-32x/25,
∴向量AO=xAB+(1-32x/25)AC,
BO=BA+AO=(x-1)AB+(1-32x/25)AC,
CO=CA+AO=xAB-32x/25*AC,
O为△ABC的外心，
∴AO^2=BO^2=CO^2，
|AB|=16，|AC|=10√2，
∴256x^2+200(1-32x/25)^...
全部展开
由32x+25y=25得y=1-32x/25,
∴向量AO=xAB+(1-32x/25)AC,
BO=BA+AO=(x-1)AB+(1-32x/25)AC,
CO=CA+AO=xAB-32x/25*AC,
O为△ABC的外心，
∴AO^2=BO^2=CO^2，
|AB|=16，|AC|=10√2，
∴256x^2+200(1-32x/25)^2+2x(1-32x/25)AB*AC
=256(x-1)^2+200(1-32x/25)^2+2(x-1)(1-32x/25)AB*AC
=256x^2+200(32x/25)^2-64x^2/25*AB*AC,
∴200（1-64x/25)+2xAB*AC=0,
256(1-2x)+200(1-64x/25)+2(57x/25-1)AB*AC=0.
∴100-256x+xAB*AC=0,①
228-512x+(57x/25-1)AB*AC=0.②
①*（57x/25-1)-②*x，得
（100-256x)(57x/25-1)-x(228-512x)=0,
(100-256x)(57x-25)-25x(228-512x)=0,
-256*57x^2+(5700+6400)x-2500
+25*512x^2-5700x=0,
-7*256x^2+6400x-2500=0,
7*64x^2-1600x+625=0,
△=1600^2-4*7*64*625
=100^2(256-112)
=100^2*12^2,
x1=(1600+1200)/(14*64)=25/8,
x2=25/56,
∴向量AO=xAB+(1-32x/25)AC=(25/8)AB-3AC或(25/56)AB+(3/7)AC
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