我没有课本,两角和的正弦的证明过程想了解

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/01 07:22:35
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我没有课本,两角和的正弦的证明过程想了解
我们在初中已经求过数轴上两点间的距离,知道这实际上就是求数轴上这两点所表示的两个数的差的绝对值.现在考虑坐标平面内的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(图4-17),从点P1,P2分别作x轴的垂线P1M1,P2M2,与x轴交于点M1(x1,0),M2(x2,0);再从点P1,P2分别作y轴的垂线P1N1,P2N2,与y轴交于点N1(0,y1),N2(0,y2).直线P1N1与P2M2相交于点Q.那么
P1Q=M1M2=|x2-x1|,
QP2=N1N2=|y2-y1|.
于是由勾股定理,可得

=|x2-x1|2+|y2-y1|2
=(x2-x1)2+(y2-y1)2.
由此得到平面内P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式

接下来,我们继续考虑如何运用两点间的距离公式,把两角和的余弦cos(α+β)用α,β的三角函数来表示的问题.
在直角坐标系xOy内作单位圆O,并作出角α,β与-β,使角α的始边为Ox,交⊙O于点P1,终边交⊙O于点P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于点P3,角-β的始边为OP1,终边交⊙O于点P4.这时点P1,P2,P3,P4的坐标分别是
P1(1,0),
P2(cosα,sinα),
P3(cos(α+β),sin(α+β)),
P4(cos(-β),sin(-β)).
由P1P3=P2P4及两点间距离公式,得
[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)
=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2.
展开并整理,得
2-2cos(α+β)
=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ),
所以
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. (C(α+β) )

这个公式对于任意的角α、β都成立.
在公式C(α+β)中用-β代替β,就得到
cos(α-β)=cosαcos(-β)-sinαsin(-β),

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. (C(α-β))
运用公式C(α-β),又可得到

=sinα;

这就是说,诱导公式

当α为任意角时仍然成立.
再运用C(α+β)和上述诱导公式,便可得到

=sinαcosβ+cosαsinβ,

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. (S(α+β))
在公式S(α+β)中用-β代替β,又可得到
sin(α-β)=sinαcos(-β)+cosαsin(-β),

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. (S(α-β))