从1到2002这2002个数中.至多能取出多少个数,使得选出的数中任意三个数的和是三的倍数.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/04/29 04:55:14
从1到2002这2002个数中.至多能取出多少个数,使得选出的数中任意三个数的和是三的倍数.
从1到2002这2002个数中.至多能取出多少个数,使得选出的数中任意三个数的和是三的倍数.
从1到2002这2002个数中.至多能取出多少个数,使得选出的数中任意三个数的和是三的倍数.
任意三个数,只要他们除以3的余数相同,则加起来都可以被三整除.
如 1 4 7 ..2002 共668个
2 5 8 ..2000 共667个
3 6 9 ..2001 共667个
明显应取第一组,共668个
从1到2002这么多数字中,能直接被3整除的有667个,被3整除余2的有667个,余1的有668个,那么任意三个数的和是三的倍数的组合有,
任意三个数，只要他们除以3的余数相同，则加起来都可以被三整除,那么可以选668个数
三个数字之和为3的倍数,将所有的数字分成三类,
3x,nx∈(1,667)
3y-1,y∈(1,667)
3y-2,y∈(1,668)
最多可以取668个数字,
因为集合中不能包含以上的至少两类数字,否则
(3 x)*2 + (3 y - 1)
(3 x) + (3 y - 1)*2
(3 x)*2 + (3 z - 2)
(...
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三个数字之和为3的倍数,将所有的数字分成三类,
3x,nx∈(1,667)
3y-1,y∈(1,667)
3y-2,y∈(1,668)
最多可以取668个数字,
因为集合中不能包含以上的至少两类数字,否则
(3 x)*2 + (3 y - 1)
(3 x) + (3 y - 1)*2
(3 x)*2 + (3 z - 2)
(3 x) + (3 z - 2)*2
(3 z - 2)*2 + (3 y - 1)
(3 z - 2) + (3 y - 1)*2
都不是3的倍数
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所有的数都可以表示成以下3种形式：
①3n；②3n+1；③3n+2。（n是自然数。）
要任意3个数加起来都是3的倍数，显然这3类数不能混合，否则就不满足任意性！
对于①组，任取3个数，相加肯定也是3的倍数。
对于②组，任取3个数，可以表示为：(3n+1)+(3n’+1)+(3n”+1)=3m+3，也是3的倍数。
同理，对于第三组：(3n+2)+(3...
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所有的数都可以表示成以下3种形式：
①3n；②3n+1；③3n+2。（n是自然数。）
要任意3个数加起来都是3的倍数，显然这3类数不能混合，否则就不满足任意性！
对于①组，任取3个数，相加肯定也是3的倍数。
对于②组，任取3个数，可以表示为：(3n+1)+(3n’+1)+(3n”+1)=3m+3，也是3的倍数。
同理，对于第三组：(3n+2)+(3n’+2)+(3n”+2)=3m+6，也是3的倍数。
所以只要分别求出3组的个数就可以了。
1～2002，3个数为一组，如1、2、3；4、5、6；……如此能分出2001/3=667，剩下的2002应该是等于3×667+1属于②组。
所以，①③两组有数各667个，②组有668个！换句话说，1～2002中，最多能取出668个数使得任意3个数相加都是3的倍数！
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