若数列{x(n)满足lgx (n+1)(下标)=1+lgx(n)[n属于正整数]且x1+x2+...+x100=100,则lg(x101+x102+...+x200=____
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/04 01:34:08
若数列{x(n)满足lgx (n+1)(下标)=1+lgx(n)[n属于正整数]且x1+x2+...+x100=100,则lg(x101+x102+...+x200=____
若数列{x(n)满足lgx (n+1)(下标)=1+lgx(n)[n属于正整数]
且x1+x2+...+x100=100,则lg(x101+x102+...+x200=____
若数列{x(n)满足lgx (n+1)(下标)=1+lgx(n)[n属于正整数]且x1+x2+...+x100=100,则lg(x101+x102+...+x200=____
lg x(n+1)=lgx(n)+lg10=lg10x(n)
所以q=x(n+1)/x(n)=10
lg(x101+x102+……+x200)=lg [q^100(x1+x2+……+x100)]=lg(10^102)=102
lgx (n+1)=1+lgx(n)=lg10x(n)
x(n+1)=10x(n)
所以x(n)是等比数列，公比是10
x1+x2+...+x100=x1*(1-10^100)*(1-10)=100
x101+x102+...+x200=(x1+x2+...+x200)-(x1+x2+...+x100)
=x1*(1-10^200)/(1-10)-100
全部展开
lgx (n+1)=1+lgx(n)=lg10x(n)
x(n+1)=10x(n)
所以x(n)是等比数列，公比是10
x1+x2+...+x100=x1*(1-10^100)*(1-10)=100
x101+x102+...+x200=(x1+x2+...+x200)-(x1+x2+...+x100)
=x1*(1-10^200)/(1-10)-100
=x1*(1-10^100)(1+10^100)/(1-10)-100
=100*(1+10^100)-100
=100*(1+10^100-1)
=100^101
=10^202
所以lg(x101+x102+...+x200=202
收起
lgx(n)-lgx(n-1) = 1
这样的话：
lgx(n-1)-lgx(n-2) = 1
....
lgx(2) - lgx(1) = 1
上面式子相加
lgx(n) - lgx(1) = n-1
设lgx(1) = a+1,这是为了后面写起来简单些。
那么lgx(n) = a+1+n-1 = a+n
x(n) = 10...
全部展开
lgx(n)-lgx(n-1) = 1
这样的话：
lgx(n-1)-lgx(n-2) = 1
....
lgx(2) - lgx(1) = 1
上面式子相加
lgx(n) - lgx(1) = n-1
设lgx(1) = a+1,这是为了后面写起来简单些。
那么lgx(n) = a+1+n-1 = a+n
x(n) = 10^(a+n),^表示几次方
x1+x2+..+x100
= 10^(a+1)+10^(a+2)+..+10^(a+100)
=10^a[10^1+10^2+..+10^100]
=10^a [10(10^100-1)/(10-1)]
=10^a[10(10^100-1)/9]
=100
x101+x102+...+x200
=10^(a+101)+10^(a+102)+...+10^(a+200)
=10^a[10^101+10^102+...+10^200]
=10^a[10^101(10^100-1)/(10-1)]
=10^a[10^101(10^100-1)/9]
=10^a[10(10^100-1)/9] ×10^100
=100×10^100
=10^102
lg(x101+x102+...+x200)=102
收起