一元二次方程一道已知方程x^2+bx+c=0与x^2+cx＋b=0各有两个整数根x1,x2和x1',x2'(1)求证：x1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/12 07:48:55
一元二次方程一道已知方程x^2+bx+c=0与x^2+cx＋b=0各有两个整数根x1,x2和x1',x2'(1)求证：x1
一元二次方程一道
已知方程x^2+bx+c=0与x^2+cx＋b=0各有两个整数根x1,x2和x1',x2'
(1)求证：x1
一元二次方程一道已知方程x^2+bx+c=0与x^2+cx＋b=0各有两个整数根x1,x2和x1',x2'(1)求证：x1
(1)由x1x2＞0知,x1与x2同号．若x1＞0,则x2＞0,
此时,-b=x1+x2>0,所以,b0矛盾,所以,x1
已知方程x^2+bx+c=0及x^2+cx+b=0分别各有两个整数根a1、b1及a2、b2，且a1b1＞0，a2b2＞0.
⑴求证：a1、b1、a2、b2均小于0；
⑵求证：b-1≤c≤b+1;
⑶求b、c所有可能值.
(1)
a1b1=c>0,a1,b1同号
a2b2=b>0,a2,b2同号
a1+b1=-b<0,∴a1<0,b...
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已知方程x^2+bx+c=0及x^2+cx+b=0分别各有两个整数根a1、b1及a2、b2，且a1b1＞0，a2b2＞0.
⑴求证：a1、b1、a2、b2均小于0；
⑵求证：b-1≤c≤b+1;
⑶求b、c所有可能值.
(1)
a1b1=c>0,a1,b1同号
a2b2=b>0,a2,b2同号
a1+b1=-b<0,∴a1<0,b1<0
a2+b2=-c<0,∴a2<0,b2<0
∴a1、b1、a2、b2均小于0
(2)
∵a1,b1,a2,b2均小于0,a1,b1,a2,b2均为整数
∴a1,b1,a2,b2均<=-1
∴(-1)^2+b(-1)+c=1-b+c>=0,c>=b-1
(-1)^2+c(-1)+b=1-c+b>=0,c<=b+1
∴b-1<=c<=b+1
(3)
∵c=a1b1,b=a2b2,
∴b,c均为正整数
∵b-1<=c<=b+1
∴c=b-1,b,b+1
1)若c=b-1
x^2+bx+b-1=0
(x+1)(x+b-1)=0
两根为-1,1-b,是整数
x^2+(b-1)x+b=0
△=b^2-2b+1-4b=b^2-6b+1>=0
(b-3)^2>=8,b>=6
△是完全平方数,设b^2-6b+1=m^2,m>=0
(b-3)^2-m^2=8
(b-3+m)(b-3-m)=8
b-3+m,b-3-m同奇偶,所以同为偶数,又b-3+m>0
∴b-3+m=4,b-3-m=2
∴b=6,m=1
∴b=6,c=5
2)若c=b
x^2+bx+b=0
△=b^2-4b>=0,b>=4
△是完全平方数,设b^2-4b=m^2,m>=0
(b-2)^2-m^2=4
(b-2+m)(b-2-m)=4
b-2+m,b-2-m同奇偶,所以同为偶数,又b-2+m>0
∴b-2+m=2,b-2-m=2
∴b=4,m=0
∴b=c=4
3)若c=b+1,b=c-1
x^2+cx+c-1=0
同1)情形,可知:
c=6,b=5
综上,b,c所有可能值:
b=4,c=4
b=5,c=6
b=6,c=5
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