请问平行六面体的面面间距是多少只知道平行六面体三边边长a b c,与3边夹角α β γ,想知道两个面间的距离是多少,如图
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/12 10:54:07
请问平行六面体的面面间距是多少只知道平行六面体三边边长a b c,与3边夹角α β γ,想知道两个面间的距离是多少,如图
请问平行六面体的面面间距是多少
只知道平行六面体三边边长a b c,与3边夹角α β γ,想知道两个面间的距离是多少,如图
请问平行六面体的面面间距是多少只知道平行六面体三边边长a b c,与3边夹角α β γ,想知道两个面间的距离是多少,如图
记左下顶点为O,由其引出的三条棱的另一端点分别为A,B,C,设二面角B-OA-C = x.
先证明一个有关二面角的公式:cos(α) = cos(γ)cos(β)+sin(β)sin(γ)cos(x).
当β,γ均不为90°,在平面AOB内作DA垂直OA交OB于D,在平面AOC内作EA垂直OA交OC于E,连DE.
由所给角度条件,OD = a/cos(γ),OE = a/cos(β),AD = a·tan(γ),AE = a·tan(β).
在△ODE中由余弦定理,有:DE² = OD²+OE²-2OD·OE·cos(α)
= a²(cos²(β)+cos²(γ)-2cos(β)cos(γ)cos(α))/(cos²(β)cos²(γ)).
在△ADE中由余弦定理,有:DE² = AD²+AE²-2AD·AE·cos(α)
= a²(sin²(γ)cos²(β)+sin²(β)cos²(γ)-2sin(β)sin(γ)cos(β)cos(γ)cos(x))/(cos²(β)cos²(γ)).
两式相减得2cos²(γ)cos²(β)-2cos(β)cos(γ)cos(α)+2sin(β)sin(γ)cos(β)cos(γ)cos(x) = 0.
即2cos(γ)cos(β)(cos(γ)cos(β)+sin(β)sin(γ)cos(x)-cos(α)) = 0.
而cos(γ)cos(β) ≠ 0,故cos(α) = cos(γ)cos(β)+sin(β)sin(γ)cos(x).
当β,γ中有至少一个为90°,例如β = 90°.
作BF垂直平面AOC,连OF,有OF垂直于OA.
在平面AOC内作FG垂直交OC于G,连BG,有BG垂直于OC.
于是cos(α) = OG/OB = OG/OF·OF/OB = sin(γ)cos(x).
同样成立cos(α) = cos(γ)cos(β)+sin(β)sin(γ)cos(x).
使用上述公式,可得cos(x) = (cos(α)-cos(γ)cos(β))/(sin(β)sin(γ)).
于是sin(x) = √(1-cos²(x)) = √(1-cos²(α)-cos²(β)-cos²(γ)+2cos(α)cos(β)cos(γ))/(sin(β)sin(γ)).
可算得B到平面AOB的距离为:
b·sin(γ)·sin(x) = b/sin(β)·√(1-cos²(α)-cos²(β)-cos²(γ)+2cos(α)cos(β)cos(γ)).