关于线性方程组的证明（附图）

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/04/28 21:27:06

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关于线性方程组的证明（附图）
关于线性方程组的证明（附图）

关于线性方程组的证明（附图）
证明:方程组是齐次线性方程组,有非零解的充分必要条件是系数行列式等于0
|A|=
1 -b -c -d -e
-a 1 -c -d -e
-a -b 1 -d -e
-a -b -c 1 -e
-a -b -c -d 1
(1)显然系数a,b,c,d,e中有两个等于-1时,行列式有两列相等(全为1),
故此时|A|=0,方程组有非零解.
(2)任何一个系数都不等于-1,且a/(a+1)+b/(b+1)+c/(c+1)+d/(d+1)+e/(e+1)=1时
|A|=
ri-r1,i=2,3,4,5 --所有行减第1行
1 -b -c -d -e
-a-1 b+1 0 0 0
-a-1 0 c+1 0 0
-a-1 0 0 d+1 0
-a-1 0 0 0 e+1
c1+(a+1)/(b+1)c2+(a+1)/(c+1)c3+(a+1)/(d+1)c4+(a+1)/(e+1)c5
M -b -c -d -e
0 b+1 0 0 0
0 0 c+1 0 0
0 0 0 d+1 0
0 0 0 0 e+1
其中M=1-b(a+1)/(b+1)-c(a+1)/(c+1)-d(a+1)/(d+1)-e(a+1)/(e+1)
= (a+1)[1/(a+1)-b/(b+1)-c/(c+1)-d/(d+1)-e/(e+1)]
= (a+1)[1-a/(a+1)-b/(b+1)-c/(c+1)-d/(d+1)-e/(e+1)]
= 0所以此时 |A|=M(b+1)(c+1)(d+1)(e+1)=0,故方程组有非零解.

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