正五面体和正四面体各有几个顶点、面数、棱数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/05 07:06:39
正五面体和正四面体各有几个顶点、面数、棱数
正五面体和正四面体各有几个顶点、面数、棱数
正五面体和正四面体各有几个顶点、面数、棱数
正五面体?请看看下面的文章：
平面图形里有正三角形,三维空间里有正四面体（四个顶点,四个面,六条棱）,那么进一步问,有没有正五面体?
实际上,三维空间中只存在五种正多面体,分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.可以通过欧拉定理得出该结论.
欧拉定理如下：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f,那么它们总有这样的关系：
v - e + f = 2 ①
正多面体的每个面都是正多边形,不妨把边数记为n,而且
n ≥ 3 ②
同时,由于每条棱都属于两个面,故多面体的面数和棱数有以下关系：
nf = 2e ③
每个顶点都是由多条棱相交而成,不妨把与每个顶点相接的棱数记为r.由于顶点是多面体中的顶点,故
r ≥ 3 ④
否则由两条棱相交的顶点只能是平面图形中的顶点.同时,由于每条棱都连接两个顶点,故多面体的顶点数和棱数有以下关系：
rv = 2e ⑤
把③式和⑤式代入①式,可以得到消掉变量f和v的等式：
2e/r - e + 2e/n = 2,
等式两边同时除以2e可以得到：
1/r - 1/2 + 1/n = 1/e,
即
1/r + 1/n = 1/e + 1/2 ⑥
由于一个正多面体的棱数e至少是6（想想这是为什么）,所以⑥式右边最大值为
1/6 + 1/2 = 2/3,
同时,由于棱数e为正数,不论e取何值,⑥式右边一定大于1/2,即
1/2 ＜ ⑥式右边 ≤ 2/3 ⑦
再由②式和④式可知,r ≥ 3,n ≥ 3.但当r ≥ 4,n ≥ 4时,⑥式左边≤1/4 + 1/4,即⑥式左边≤1/2,与⑦矛盾.故r和n的取值可分为以下几种情况讨论：
⑴ r ≥ 4时,由于不能同时满足n ≥ 4,而n ≥ 3又必须满足,故此时n = 3.代入⑥式,得1/r = 1/e + 1/6.由于1/r = 1/e + 1/6 ＞ 1/6,故r ＜ 6,故r只能取3、4、5.r = 3,n = 3时代入⑥式和③式得f = 4,此时是一个正四面体；r = 4,n = 3时有f = 8,此时是一个正八面体；r = 5,n = 3时有f = 20,此时是一个正二十面体.
⑵ 与⑴类似,n ≥ 4时,由于不能同时满足r ≥ 4,而r ≥ 3又必须满足,故此时r = 3.同理可得n只能取3、4、5.r = 3,n = 3时代入⑥式和③式得f = 4,此时是一个正四面体；r = 3,n = 4时有f = 6,此时是一个正六面体（即立方体）；r = 3,n = 5时有f = 20,此时是一个正十二面体.
⑶ r ≥ 4,n ≥ 4都不满足的时候,又由于r ≥ 3,n ≥ 3,故只能有r = 3,n = 3,此时f = 4,是一个正四面体.
由以上证明可知,三维空间中只存在五种正多面体,分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体,当然也就不存在正五面体.