正数m,n满足m+n=3,且S=根号下m2+4+根号下n2+4,求S的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/03 17:00:14
正数m,n满足m+n=3,且S=根号下m2+4+根号下n2+4,求S的最小值
正数m,n满足m+n=3,且S=根号下m2+4+根号下n2+4,求S的最小值
正数m,n满足m+n=3,且S=根号下m2+4+根号下n2+4,求S的最小值
m+n=3…………………………………(1)
S=√(m^2+4)+√(n^2+4)………………(2)
由(1)得：m=3-n
代入(2),有：
S=√[(3-n)^2+4]+√(n^2+4)
S=√(n^2-6n+13)+√(n^2+4)…………(3)
S'=(n-3)/√(n^2-6n+13)+n/√(n^2+4)
S'=[(n-3)√(n^2+4)+n√(n^2-6n+13)]/[√(n^2+4)][√(n^2-6n+13)]
令：S'=0,即：
(n-3)√(n^2+4)+n√(n^2-6n+13)=0
(3-n)√(n^2+4)=n√(n^2-6n+13)
[(3-n)^2](n^2+4)=(n^2)(n^2-6n+13)
(n^2-6n+9)(n^2+4)=(n^2)(n^2-6n+13)
n^4+13n^2-6n^3-24n+36=n^4-6n^3+13n^2
24n=36
n=3/2
代入(3),有：
S最小=√[(3/2)^2-6(3/2)+13]+√[(3/2)^2+4]
S最小=√(9/4-9+13)+√(9/4+4)
S最小=2√(9/4+4)
S最小=2√(25/4)
S最小=5
即：所求S的最小值是5.
m=n时，S最小。
S最小=5
先用m表示n 再用均值不等式
解
结合题设条件：m+n=3,可得：
S=√[(m-0)²+(0-2)²]+√[(m-3)²+(0+2)²]
∴上面式子中，S的几何意义就是：
x轴上的一个动点M(m, 0)到两个定点P(0, 2)，Q(3, -2)的距离的和。
易知，|PQ|=5就是要求的最小值。
∵（√m-√n)^2≥0
∴m+n-2√(mn)≥0,
∵m+n=1∴1-2√(mn)≥0,
∴ √(mn)≤1/2