已知函数f(x)=lgx,若x1,x∈R+,判断1/2[f(x1)+f(x2)]与f(（x1+x2）/2)的大小,并证明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/03 08:57:35
已知函数f(x)=lgx,若x1,x∈R+,判断1/2[f(x1)+f(x2)]与f(（x1+x2）/2)的大小,并证明
已知函数f(x)=lgx,若x1,x∈R+,判断1/2[f(x1)+f(x2)]与f(（x1+x2）/2)的大小,并证明
已知函数f(x)=lgx,若x1,x∈R+,判断1/2[f(x1)+f(x2)]与f(（x1+x2）/2)的大小,并证明
因为：f(x)=lgx,x1,x2∈R+
所以,
[f(x1)+f(x2)]/2
=(lgx1+lgx2)/2
=lg(√x1x2)
f[(x1+x2)/2]
=lg[(x1+x2)/2]
由匀值定理得：x1+x2≥2√x1x2
所以,(x1+x2)/2≥√x1x2
由于,f(x)=lgx为增加函数
所以,lg[(x1+x2)/2]≥lg(√x1x2)
所以,1/2[f(x1)+f(x2)]≥f[(x1+x2)/2]
)f(x1)=lgx1
f(x2)=lgx2
2)[f（x1）+f（x2）]/2=(lgx1+lgx2)/2=(lgx1x2)/2
3)x=(x1+x2)/2
f[（x1+x 2)/2]=lg[(x1+x2)/2]
4)[f（x1）+f（x2）]/2-f[（x1+x 2)/2]
=(lgx1x2)/2-lg[(x1+x2)/2]
...
全部展开
)f(x1)=lgx1
f(x2)=lgx2
2)[f（x1）+f（x2）]/2=(lgx1+lgx2)/2=(lgx1x2)/2
3)x=(x1+x2)/2
f[（x1+x 2)/2]=lg[(x1+x2)/2]
4)[f（x1）+f（x2）]/2-f[（x1+x 2)/2]
=(lgx1x2)/2-lg[(x1+x2)/2]
=lg[(x1x2)^1/2]-lg[(x1+x2)/2]
5)lgx为增函数,所以只需比较
(x1x2)^1/2-(x1+x2)/2<=(x1x2)^1/2-[2(x1x2)^1/2]/2<=0 (x1，x2∈(0,+∞))
6)所以[f（x1）+f（x2）]/2<=f[（x1+x 2)/2]
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