长方体AC'中AB=2 AA'=1直线BD与平面AA'B'B所在的角为30度 F为A'B'中点 求二面角D-BF-B'的平面角的余弦值（向量法）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/04/29 16:08:40
长方体AC'中AB=2 AA'=1直线BD与平面AA'B'B所在的角为30度 F为A'B'中点 求二面角D-BF-B'的平面角的余弦值（向量法）
长方体AC'中AB=2 AA'=1直线BD与平面AA'B'B所在的角为30度 F为A'B'中点
求二面角D-BF-B'的平面角的余弦值（向量法）
长方体AC'中AB=2 AA'=1直线BD与平面AA'B'B所在的角为30度 F为A'B'中点 求二面角D-BF-B'的平面角的余弦值（向量法）
你自己画个图比较好看
首先建立坐标系
令DD`为Z轴 DA为X轴 DC为y轴 D为原点
由题意得∠ABD=30°
AD=AB*tan30°=(2√3)/3
四点的坐标写出来
D(0,0,0) B((2√3)/3,2,0) F((2√3)/3,1,1) B`((2√3)/3,2,1)
向量DF((2√3)/3,1,1) 向量DB((2√3)/3,2,0)
设平面DBF的法向量为向量m(x,y,z)
向量DF*向量m=0
向量DB*向量m=0
即 (2√3)/3*x+y+z=0
(2√3)/3*x+2y=0
令x=3 解得y=-√3 z=-√3
向量m(3,-√3,-√3)
平面BFB`法向量为向量DA((2√3)/3,0,0)
所成二面角即为向量m和向量DA所成角
向量m*向量DA=2√3
|m|=√15,|DA|=(2√3)/3
cosα=(向量m*向量DA)/|m||DA|
=√15/5
已知两条边，其实那个30度的条件即告诉你第三条边，角ABD=30度，所以AD=2（√3）/3。
令A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA`为z轴建立三维直角坐标系，可得B'(2,0,1),C'(2,2（√3）/3,1)得B’C'向量为（0，2（√3）/3，0），此为，平面BF-B’的法向量。
再求D-BF的法向量，设其为（a1，a2，a3），因为其为法向量，所以与平面D-BF垂直，...
全部展开
已知两条边，其实那个30度的条件即告诉你第三条边，角ABD=30度，所以AD=2（√3）/3。
令A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA`为z轴建立三维直角坐标系，可得B'(2,0,1),C'(2,2（√3）/3,1)得B’C'向量为（0，2（√3）/3，0），此为，平面BF-B’的法向量。
再求D-BF的法向量，设其为（a1，a2，a3），因为其为法向量，所以与平面D-BF垂直，即分别与DF，DB，BF，垂直。很容易得到上述三个线段的向量，分别于法向量相乘等3个方程，解得（a1，a2，a3）=（a1,√3a1,a1)=a1(1,√3,1),使用两向量的夹角公式，很容易的到cosx，看图此角很明显为钝角，所以可解，cosx=-2（√15）/5
收起