设函数f(x)=e∧x,gn(x)=1+x+x∧2/2!+…+x∧n/n!当x>0时比较f(x)与gn(x)的大小

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/05/24 20:16:36
设函数f(x)=e∧x,gn(x)=1+x+x∧2/2!+…+x∧n/n!当x>0时比较f(x)与gn(x)的大小设函数f(x)=e∧x,gn(x)=1+x+x∧2/2!+…+x∧n/n!当x>0时比

设函数f(x)=e∧x,gn(x)=1+x+x∧2/2!+…+x∧n/n!当x>0时比较f(x)与gn(x)的大小
设函数f(x)=e∧x,gn(x)=1+x+x∧2/2!+…+x∧n/n!当x>0时比较f(x)与gn(x)的大小

设函数f(x)=e∧x,gn(x)=1+x+x∧2/2!+…+x∧n/n!当x>0时比较f(x)与gn(x)的大小
显然f(x)大啊,因为根据带拉格朗日余项的泰勒展开式,
f(x)
= 1 + x + x^2/2!+ ...+ x^n/n!+ c^(n+1)/(n+1)!= gn(x) + c^(n+1)/(n+1)!
其中c是介于0与x之间的一个数.由于x是正的,所以c肯定也是正的,因此 f(x) > gn(x).当且仅当x = 0时 f(x) = gn(x),这是n固定时的结论.n不固定且趋于无穷大时,f(x) = lim (n趋于无穷) gn(x).
有问题继续追问吧~