高数 求给思路：类似题怎样证偏导数存在,怎样证是否可微
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/15 08:02:32
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求连续性的话,就证明在x,y趋近于（0,0）点的时候极限是否存在,存在的话是否和函数中定义的该点的数值相同,相同则连续.
x^2+y^2>0时,对x,y取趋近于0的极限,同时令x=y=1/n
可以化成(1/2^（3/2）*)1/n,取极限n趋近于∞得到极限为0
令y=kx,化成(k^2/(1+k^2)^3/2)*x.取极限得到极限为0
所以函数在0,0点是连续的
偏导存在与否可直接用定义求解
可知f（x,0）=0,所以有fx(0,0)=0
同理可知f（0,y）=0,所以有fy(0,0)=0
所以对（0,0）点的偏导是存在的
可微是说函数的全增量△f可以表示成A△x+B△y+o(p)的形式,而这里的o（p）是随着△x和△y 趋近于0而趋近于0 的
比如说这道题,△f（0,0）就要表示为(△x)^2*(△y)^2/((△x)^2+(△y)^2)^(3/2)=o(p)（因为A=B=0,所以△x和△y项不存在）,这里我们令o（p）=ep,p=(（△x）^2+(△y)^2)^1/2,并且p趋近于0的时候要有e趋近于0
这里我们令△x=△y>0,得到2^(-3/2)*△x=2^(1/2)*e*△x,我们得到e=1/4,并不随p趋近于0而趋近于0,所以函数的全增量是不能用A△x+B△y+o(p)来表示的,所以不可微