请提供详解.请不用平方和公式做 如图
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/10 09:04:18
请提供详解.请不用平方和公式做 如图
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请提供详解.请不用平方和公式做 如图
前面的化简你应该会吧：(略去趋向于无穷)
原式=lim((1^2+2^2+...+(n-1)^2)/n^3)
n^2=n*(n-1)+n=1/3((n+1)*n*(n-1)-(n-2)*(n-1)*n)+n
故1^2+2^2+...+(n-1)^2=1/3(0*1*2-0+1*2*3-0*1*2+...-...+(n-2)*(n-1)*n-(n-3)*(n-2)*(n-1))+1+2+...+n-1=1/3(n-2)*(n-1)*n+1/2(1+n-1)*(n-1)=1/6*n*(n-1)*(2n-1)这其实就是平方和公式的推导方法的一种.
原式=lim(1/6*n*(n-1)*(2n-1)/n^3)=lim(1/6(2n^2-3n+1)/n^2)=lim(1/3-1/(2n)+1/(6n^2))=1/3+0+0=1/3
老实说，不用平方和公式的话，很难，因为这个性质是这道题的核心。
1/3这个东西不是随便靠些简单极限的性质就可以推出来的。
一个非常awkward的方法：
1*2+2*3+...+(n-1)*n=(n-1)*n*(n+1)/3，可以参考
http://zhidao.baidu.com/question/135128607.html
因此，
1^2+.....
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老实说，不用平方和公式的话，很难，因为这个性质是这道题的核心。
1/3这个东西不是随便靠些简单极限的性质就可以推出来的。
一个非常awkward的方法：
1*2+2*3+...+(n-1)*n=(n-1)*n*(n+1)/3，可以参考
http://zhidao.baidu.com/question/135128607.html
因此，
1^2+...+n^2<1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1)=n*(n+1)*(n+2)/3，代入后极限是1/3。
1^2+...+n^2>0*1+1*2+2*3+...+(n-1)*n=(n-1)*n*(n+1)/3，代入后极限是1/3。
所以左右一夹，原题答案是1/3。
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