用向量的方法证明正弦定理

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/04/29 23:00:22
用向量的方法证明正弦定理用向量的方法证明正弦定理用向量的方法证明正弦定理步骤1记向量i,使i垂直于AC于C,△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c∴a+b+c=0则i（a+b+c）=i·a+i·

用向量的方法证明正弦定理
用向量的方法证明正弦定理

用向量的方法证明正弦定理
步骤1
记向量i ,使i垂直于AC于C,△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c
∴a+b+c=0
则i（a+b+c）
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接着得到正弦定理
其他
步骤2.
在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理,在△ABC中,
b/sinB=c/sinC
步骤3.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式.

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