用分步积分法求积分 e ^(-2x)sin(x/2)dx

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/05/13 02:22:54

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用分步积分法求积分 e ^(-2x)sin(x/2)dx
用分步积分法求积分 e ^(-2x)sin(x/2)dx

用分步积分法求积分 e ^(-2x)sin(x/2)dx
M=∫e^(-2x)sin(x/2)dx
=(-1/2)∫sin(x/2)d[e^(-2x)]
=(-1/2)sin(x/2)e^(-2x)-(-1/2)∫e^(-2x)d[sin(x/2)]
=(-1/2)sin(x/2)e^(-2x)+(1/4)∫e^(-2x)cos(x/2)dx
=(-1/2)sin(x/2)e^(-2x)+(-1/8)∫cos(x/2)d[e^(-2x)]
=(-1/2)sin(x/2)e^(-2x)+(-1/8)cos(x/2)e^(-2x)+(1/8)∫e^(-2x)dcos(x/2)
=(-1/2)sin(x/2)e^(-2x)+(-1/8)cos(x/2)e^(-2x)+(-1/16)∫e^(-2x)sin(x/2)dx
=(-1/2)sin(x/2)e^(-2x)+(-1/8)cos(x/2)e^(-2x)+(-1/16)M
从而M=(16/17)*[(-1/2)sin(x/2)e^(-2x)+(-1/8)cos(x/2)e^(-2x)]+C
=(-2/17)e^(-2x)[ 4sin(x/2) + cos(x/2)] + C

此题可以用打表法求
I = e ^(-2x)sin(x/2)dx
= (-1/2)sin(x/2)de^(-2x)
= (-1/2)[ sin(x/2)e^(-2x) + (1/4) cos(x/2)e^(-2x) + (1/8)I]
I = (-1/8)e^(-2x)[ 4sin(x/2) + cos(x/2)] - (1/16)I
解得I，
I = (-2/17)e^(-2x)[ 4sin(x/2) + cos(x/2)] + c

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