是否存在0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/23 18:15:48
是否存在0
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假设存在这样的排列.
在此区间都为正值,不妨设排列成公差为正数的等差数列.
由于四个数在（0,π/4] 的值与[π/4,π/2]只是交换了一下,（sinx,cosx交换,tanx,cotx交换）
因此不妨设区间为：（0,π/4]
x显然不能为π/4,否则两两相等,排列不成等差数列.
(0,π/4)内,cotx>cosx>sinx,cotx>tanx>sinx,
因此最小的是sinx,最大的是cotx
由等差数列的性质,即有：sinx+cotx=cosx+tanx
sinx-cosx-sinx/cosx+cosx/sinx=0
sinxcosx(sinx-cosx)-sin^2 x+cos^2 x=0
因sinxcosx,去除sinx-cosx因子得：sinxcosx-sinx-cosx=0
除以cosx,得：sinx-tanx-1=0
sinx=tanx+1
而因为sinx
解析：
已知当x=π/4，由于sinx=cosx≠tanx=cotx，所以此时sinx,cosx,tanx,cotx的任意排列都不能成为等差数列。
以下考虑当0
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解析：
已知当x=π/4，由于sinx=cosx≠tanx=cotx，所以此时sinx,cosx,tanx,cotx的任意排列都不能成为等差数列。
以下考虑当0
即当x=arcsin[(√5 -1)/2]时，由于tanx=cosx=√[(√5 -1)/2]，此时sinx,cosx,tanx,cotx的任意排列也不能成为等差数列.
由上可知：
(1)当arcsin[(√5 -1)/2]
由等差数列定义，有：
cosx-sinx=cotx-tanx
即cosx-sinx=(cos²x-sin²x)/(cosx*sinx)
由于cosx≠sinx，所以上式两边同除以cosx-sinx，可得：
1=(cosx+sinx)/(cosx*sinx)
即cosx*sinx=cosx+sinx
上式两边平方得：cos²x*sin²x=(cosx+sinx)²
即cos²x*sin²x=1+2cosxsinx
cos²x*sin²x-2cosxsinx=1
配方得：(cosxsinx-1)²=2 （*）
因为0
则可知方程（*）无实数解
这就是说上述(1)假设不成立
即不存在x属于( arcsin[(√5 -1)/2] ,能使得sinx，cosx，tanx，cotx依次成一个等差数列
(2)当0
由等差数列定义，有：
tanx-sinx=cotx-cosx
即cosx-sinx=cotx-tanx
以下证明过程同(1),略去。
这就是说上述(2)假设不成立
即不存在x属于( 0， arcsin[(√5 -1)/2] ）,能使得sinx，cosx，tanx，cotx依次成一个等差数列
同理可证得：
当π/4
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