一道高中数学抛物线的题目 .急求...在线等!设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线与A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC平行x轴,求证直线AC经过原点O
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/04/27 21:50:35
一道高中数学抛物线的题目 .急求...在线等!设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线与A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC平行x轴,求证直线AC经过原点O
一道高中数学抛物线的题目 .急求...在线等!
设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线与A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC平行x轴,求证直线AC经过原点O
一道高中数学抛物线的题目 .急求...在线等!设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线与A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC平行x轴,求证直线AC经过原点O
过P1,P2分别做准线的垂线,垂足为分别为M,N ,取P1P2的中点为H,过H作准线的垂线,垂足为G.
根据高无限定义,放FP1=P1M,FP2=P2N,所以P1P2=FP1+FP2=P1M+P2N,而HG是四边形P1MNP2的中位线,所以HG=P1M+P2N的一半,即为P1P2的一半,所以HG为半径长,故相切.
这里提供一种几何证法吧
令AC与x轴焦点为D 证D与O重合
知DF‖BC
则DF：BC=AF：AB
∵BC=BF
∴DF=AF×BF/AB
又令准线与x轴交于E
过A作AG平行x轴交CE与G
∵DE‖AG
∴DE：AG=CE:CG=BF:AB
∵AG=AF
∴DE=AF×BF/AB
∴DE=DF即EF中...
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这里提供一种几何证法吧
令AC与x轴焦点为D 证D与O重合
知DF‖BC
则DF：BC=AF：AB
∵BC=BF
∴DF=AF×BF/AB
又令准线与x轴交于E
过A作AG平行x轴交CE与G
∵DE‖AG
∴DE：AG=CE:CG=BF:AB
∵AG=AF
∴DE=AF×BF/AB
∴DE=DF即EF中点
于是D与原点重合
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（分析法）
考虑到直线AB的斜率可能不存在，但一定不会为0，故：
设直线AB的方程为：x=ty+p/2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-p/2,y2)
由y^2=2px与x=ty+p/2联立得：y^2-2pty-p^2=0
要证：直线AC经过原点O，
只需证：kOC=k0A 【直线OC的斜率与直线OA的斜率相等】
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（分析法）
考虑到直线AB的斜率可能不存在，但一定不会为0，故：
设直线AB的方程为：x=ty+p/2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-p/2,y2)
由y^2=2px与x=ty+p/2联立得：y^2-2pty-p^2=0
要证：直线AC经过原点O，
只需证：kOC=k0A 【直线OC的斜率与直线OA的斜率相等】
只需证：kOC=y2/(-p/2)
=k0A=y1/x1=y1/(p/2+ty1)
即：(-p/2)*y1=ty1*y2+(py2)/2
即：(-p/2)*(y1+y2)=ty1*y2
而在方程 y^2-2pty-p^2=0 中，y1+y2=2pt，y1*y2=-p^2，
则：(-p/2)*(y1+y2)=-tp^2=ty1*y2 显然成立。
从而原结论成立。
（综合法）
考虑到直线AB的斜率可能不存在，但一定不会为0，故：
设直线AB的方程为：x=ty+p/2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-p/2,y2)
由y^2=2px与x=ty+p/2联立得：y^2-2pty-p^2=0
由韦达定理有：y1*y2=-p^2 =>y1=-p^2/y2
则：kOC=y2/(-p/2)
k0A=y1/x1=y1/[(y1*y1)/(2p)]=(2p)/y1=y2/(-p/2)
∴kOC=k0A
∴A、O、C三点共线
所以，直线AC经过原点O。
【本题用分析法证明思路更容易想到，思路明确之后可以再转化为
综合法书写】
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