问个算术几何均值不等式的问题http://hiphotos.baidu.com/%C1%F8%F6%AD%D6%AE%C1%D6/pic/item/f0511f133be1bf36cb80c484.jpg设x=ab,y=bc,z=ca不等式等价于x^3+y^3+z^3>=xy^2+yz^2+zx^2AM-GM x^3+y^3+y^3>=3xy^2,y^3+z^3+z^3>=3yz^2,z^3+x^3+x^3>=3
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/21 10:49:14
问个算术几何均值不等式的问题http://hiphotos.baidu.com/%C1%F8%F6%AD%D6%AE%C1%D6/pic/item/f0511f133be1bf36cb80c484.jpg设x=ab,y=bc,z=ca不等式等价于x^3+y^3+z^3>=xy^2+yz^2+zx^2AM-GM x^3+y^3+y^3>=3xy^2,y^3+z^3+z^3>=3yz^2,z^3+x^3+x^3>=3
问个算术几何均值不等式的问题
http://hiphotos.baidu.com/%C1%F8%F6%AD%D6%AE%C1%D6/pic/item/f0511f133be1bf36cb80c484.jpg
设x=ab,y=bc,z=ca
不等式等价于
x^3+y^3+z^3>=xy^2+yz^2+zx^2
AM-GM x^3+y^3+y^3>=3xy^2,y^3+z^3+z^3>=3yz^2,z^3+x^3+x^3>=3zx^2
三式相加即得要证的结论
我就想问设x=ab,y=bc,z=ca
不等式等价于
x^3+y^3+z^3>=xy^2+yz^2+zx^2怎么等的
分拆
不妨设z=min(x,y,z)
等价于
(x-z)(y-z)(x+z)+(x-y)^2(x+y)>=0显然成立
还是不懂……………………
问个算术几何均值不等式的问题http://hiphotos.baidu.com/%C1%F8%F6%AD%D6%AE%C1%D6/pic/item/f0511f133be1bf36cb80c484.jpg设x=ab,y=bc,z=ca不等式等价于x^3+y^3+z^3>=xy^2+yz^2+zx^2AM-GM x^3+y^3+y^3>=3xy^2,y^3+z^3+z^3>=3yz^2,z^3+x^3+x^3>=3
讲题中的式子通分,即把第一个式子分子分母同时乘以（b+c）*(c+a)加上第二个式子分子分母同时乘以(a+b)*(c+a)加上第三个式子分子分母同时乘以（b+c）*(a+b).然后整理,再用x=ab,y=bc,z=ca代换即可得出x^3+y^3+z^3>=xy^2+yz^2+zx^2,所以题中不等式等价于
x^3+y^3+z^3>=xy^2+yz^2+zx^2