已知函数f(x)=a^x+1除以a^x-1(a＞0且a≠0）（1）求f(x)的定义域 （2）讨论f(x)的奇偶性a的平方是x 不是x-1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/05/13 22:33:08
已知函数f(x)=a^x+1除以a^x-1(a＞0且a≠0）（1）求f(x)的定义域 （2）讨论f(x)的奇偶性a的平方是x 不是x-1
已知函数f(x)=a^x+1除以a^x-1(a＞0且a≠0）（1）求f(x)的定义域 （2）讨论f(x)的奇偶性
a的平方是x 不是x-1
已知函数f(x)=a^x+1除以a^x-1(a＞0且a≠0）（1）求f(x)的定义域 （2）讨论f(x)的奇偶性a的平方是x 不是x-1
已知函数f(x)=a^x-1/a^x+1（a>0且a不等于1）
（1）求f(x)的定义域和值域；
因为g(x)=a^x当a＞0且a≠1时,其定义域为R,值域为g(x)＞0
所以,a^x+1＞1
故f(x)的定义域为x∈R
又,f(x)=（a^x-1)/(a^x+1)=[(a^x+1)-2]/(a^x+1)
=1-[2/(a^x+1)]
因为a^x+1＞1,所以0＜1/(a^x+1)＜1
所以,0＜2/(a^x+1)＜2
所以,-2＜-2/(a^x+1)＜0
所以,-1＜f(x)=1-[2/(a^x+1)]＜1
即,值域f(x)∈(-1,1)
（2）讨论f(x)的奇偶性；
f(-x)=[a^(-x)-1]/[a^(-x)+1]
=[1-a^x]/[1+a^x]【分子分母同乘以不为零的数a^x】
=-(a^x-1)/(a^x+1)
=-f(x)
所以,f(x)为奇函数
（3）讨论f(x)的单调性.
由(2)知,f(x)为奇函数,所以只讨论在x＞0时的情况
①当a＞1时,a^x为增函数
令：0＜x1＜x2
则,f(x1)-f(x2)=[(a^x1-1)/(a^x1+1)]-[(a^x2-1)/(a^x2+1)]
=[(a^x1-1)*(a^x2+1)-(a^x2-1)*(a^x1+1)]/[(a^x1+1)*(a^x2+1)]
上述分式的分母一定＞0
分子=[a^(x1+x2)-a^x2+a^x1-1]-[a^(x1+x2)-a^x1+a^x2-1]
=2(a^x1-a^x2)
因为a^x为增函数,且x1＜x2
所以,a^x1＜a^x2
所以,f(x1)-f(x2)＜0
即,f(x1)＜f(x2)
所以,f(x)为增函数
而f(x)为R上的奇函数
所以,在R上,f(x)为增函数
②当0＜a＜1时,同理可得f(x)在R上为减函数