将长为L的铁丝分成2断,一段绕成圆,一段绕成正方形,要使两者面积之和最小,该如何分

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/05/10 18:26:54

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将长为L的铁丝分成2断,一段绕成圆,一段绕成正方形,要使两者面积之和最小,该如何分
设分成两段分别为x,L-x. 圆的半径为R,正方形的边长为a.
长为x的铁丝绕成圆, 那么 2πR=x ,解得R=x/2π
圆的面积=πR²=π（x/2π）²=x²/4π.
长为L-x的铁丝绕成正方形,那么4a=L-x,解得a=(L-x)/4
正方形的面积=a²=[(L-x)/4]²=（L-x）²/16
所以两者面积和=x²/4π+（L-x）²/16=（4+π）/16π ×[x-πL/（4+π）]²+（π+3）L²/16(π+4)
所以当x=πL/（4+π）时,两者面积和取得最小值为（π+3）L²/16(π+4)
此时绕成圆的铁丝长=x=πL/（4+π）
绕成正方形的铁丝长=L-x=L-πL/（4+π）
即将长为L的铁丝分成πL/（4+π）和L-πL/（4+π）分别绕成圆和正方形时,两者面积最小.

这是一个二次函数的问题
设圆那一段周长X，则正方形周长为L-X,(0对圆：周长X=2πr,面积S1=πr²，
所以，S1=X²/4π
对正方形：周长L-X=4a,面积S2=a²，
所以，S2=(L-X)²/16
面积之和S=S1+S2=(1/4π+1/16)X&sup...

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这是一个二次函数的问题
设圆那一段周长X，则正方形周长为L-X,(0对圆：周长X=2πr,面积S1=πr²，
所以，S1=X²/4π
对正方形：周长L-X=4a,面积S2=a²，
所以，S2=(L-X)²/16
面积之和S=S1+S2=(1/4π+1/16)X²-L/8*X+L²/16 （0 这个关于X二次函数开口向上，对称轴为直线X=L/4+π，L/4+π属于区间（0，L），
所以，当X=L/4+π时，面积之和最小，此时正方形周长L-X=（3+π/4+π ）L
所以分法为，圆一段长L/4+π，正方形一段长（3+π/4+π ）L

收起

设前者长为x，○面积为（x除以2π)^2*π，正方形面积为（l-x）^2除以16
所以s=4x^2+πx^2-2lxπ+l^2π
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所以X=lπ除以4+π