求函数y=2x+根号(1-x2)值域
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/01 07:49:10
求函数y=2x+根号(1-x2)值域
求函数y=2x+根号(1-x2)值域
求函数y=2x+根号(1-x2)值域
解析:由二次根式的意义可得,1-x^2≥0,解得x∈[-1,1],
y‘=2+(-2x)/{2√(1-x^2)}={2√(1-x^2)-x}/{√(1-x^2)},
令y‘=0,2√(1-x^2)-x=0,解得x=±2√5/5,
令y‘>0,2√(1-x^2)-x>0,若x∈[-1,0],前式恒成立;若x∈[0,1],解得x∈[0,2√5/5),∴x∈[-1,2√5/5),y‘>0;
令y‘<0,2√(1-x^2)-x<0,解得x∈(2√5/5,1];
综上所述,x∈[-1,2√5/5),y‘>0,函数y单调递增;x∈(2√5/5,1],y‘<0,函数y单调递减;所以函数y在x=2√5/5时有最大值,ymax=f(2√5/5)=2*2√5/5+√(1-(2√5/5)^2)=√5,f(1)=2*1+√(1-(1)^2)=2,f(-1)=2*(-1)+√(1-(-1)^2)=-2,所以函数y=2x+√(1-x^2)值域为[-2,√5].
求函数值域应该先求定义域,如果函数在定义域内是单调函数便可通过观察找出值域;如果函数在定义域内不是单调函数,则应先求出函数的单调区间找出极值点,然后再与函数在定义域的其它(区间端点)值作比较便可求出函数的值域,这是应用函数的单调性求函数的治愈的方法要点.其实,本题含有许多需要注意的地方,比如解含有二次根式的不等式,一阶导数为零点不一定是极值点,x=2√5/5是函数的极值点,x=-2√5/5不是函数的极值点而是函数的拐点.
定义域x=0
值域y为{0}
换元啊!令x=sint, t在-PI/2 到PI/2 之间. 则y=2sint+cost=根号(5)*sin(t+a), 所以值域为[-根号(5), 根号(5)]