用待定系数法分解因式(1) x^5+x+1(2) x^5+x^4+1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/04/29 02:18:52
用待定系数法分解因式(1) x^5+x+1(2) x^5+x^4+1
用待定系数法分解因式
(1) x^5+x+1
(2) x^5+x^4+1
用待定系数法分解因式(1) x^5+x+1(2) x^5+x^4+1
（以下过程均是在实数范围内分解因式）
解(1)x^5+x+1
因为原式是5次式
所以若原式可以因式分解,则一定可以分解为 一个2次式因式和一个3次因式,或者一个1次因式和一个4因式
若原式可以分解为一个2次式因式和一个3次因式：
由于原式最高次项是x^5,最低次项(常数项)是1,
所以可设原式=(x^3+ax^2+bx+1)(x^2+cx+1)
（因为原式的最高次项一定等于两个因式的最高次项乘积,且原式最低次项也一定等于两个因式的最低次项乘积）
展开得：原式=x^5+(a+c)x^4+(ac+b+1)x^3+(bc+a+1)x^2+(b+c)x+1
由于原式的2、3、4次项的系数都是0,1次项系数是1
所以a,b,c必须同时满足以下四个方程：
a+c=0
ac+b+1=0
bc+a+1=0
b+c=1
如果此方程组无解,则说明原式不可因式分解.（从上述4个方程中任取出3个方程,可解得a,b,c的值,将这组值带入剩下的那个方程,若等号恰好成立,则说明此该a,b,c的值是原方程组的解；若等号不成立,则说明该方程组无解）
但此题恰好有解,解得a=-1,b=0,c=1
所以原式=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1)
检验：分解是否彻底
因式x^2+x+1的判别式<0,故不能继续分解
对于因式x^3-x^2+1,也可以用待定系数法
设x^3-x^2+1=(x^2+mx+1)(x+1)
=x^3+(m+1)x^2+(m+1)x+1
所以
m+1=-1
m+1=0
显然无解.所以x^3-x^2+1不能继续分解.
所以分解已经彻底
若原式可以分解为一个1次式因式和一个4次因式：
则设原式=(x^4+ax^3+bx^2+cx+1)(x+1)
=x^5+(a+1)x^4+(a+b)x^3+(b+c)x^2+(c+1)x+1
所以：
a+1=0
a+b=0
b+c=0
c+1=1
次方程组无解
所以原式不能分解成一个1次因式和1个4次因式
综上所述,原式=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1)
(2)x^5+x^4+1
同上题理
若原式可以分解为一个2次式因式和一个3次因式：
设原式=(x^3+ax^2+bx+1)(x^2+cx+1)
=x^5+(a+c)x^4+(ac+b+1)x^3+(bc+a+1)x^2+(b+c)x+1
方程组：
a+c=1
ac+b+1=0
bc+a+1=0
b+c=0
解该方程组的方法同上,即从上述4个方程中任取出3个方程,可解得a,b,c的值,将这组值带入剩下的那个方程,恰好能使等号成立.所以最后解得a=0,b=-1,c=1
所以原式=(x^3-x+1)(x^2+x+1)
检验分解是否彻底”
因式x^2+x+1的判别式<0,故不能继续分解
对于因式x^3-x+1,
设其(x^2+mx+1)(x+1)
=x^3+(m+1)x^2+(m+1)x+1
所以
m+1=0
m+1=-1
显然无解.所以x^3-x+1不能因式分解
所以分解已彻底
若原式可以分解为一个1次式因式和一个4次因式：
则设原式=(x^4+ax^3+bx^2+cx+1)(x+1)
=x^5+(a+1)x^4+(a+b)x^3+(b+c)x^2+(c+1)x+1
方程组为：
a+1=1
a+b=0
b+c=0
c+1=0
该方程组无解,说明原式不可以分解为一个1次式因式和一个4次因式
综上所述,原式=(x^3-x+1)(x^2+x+1)